【数学】2018届一轮复习北师大版复数、算法、推理与证明教案 11页

第4讲　复数、算法、推理与证明 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　复　数 自主练透　夯实双基 ‎1．复数的除法 复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．‎ ‎2．复数运算中常见的结论 ‎(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.‎ ‎(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．(2016·高考全国卷乙)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)‎ A．－3　　　　　　　　　　 B．－2‎ C．2 D．3‎ A　[解析] (1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.‎ ‎2．(2016·福建高三毕业班质量检测)已知复数z＝，则||＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．5‎ C　[解析] 因为z＝＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i，所以||＝，故选C.‎ ‎3．(2016·河南六市第一次联考)已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　)‎ A. B. C. D. C　[解析] 由题意得，＝ti，t≠0，所以2－i＝－t＋tai，所以解得所以z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝，故选C.‎ 复数问题的解题思路 ‎(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．‎ ‎(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　算　法 高频考点　多维探明 利用循环结构表示算法要注意的三个问题 ‎(1)要准确地选择表示累计的变量；‎ ‎(2)要注意在哪一步结束循环；‎ ‎(3)完整执行每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．‎ ‎　根据程序框图求解输出结果 ‎ 执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎【解析】　第一次循环，得a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环，得a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环，得a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环，得a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s＝20＞16，退出循环，输出的n＝4，故选B.‎ ‎【答案】B ‎　根据程序框图选择(填充)判断条件 ‎ (2016·河南六市第一次联考)运行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是(　　)‎ A．k＞3? B．k＞4?‎ C．k＞5? D．k＞6?‎ ‎【解析】　依次运行程序框图中的语句：k＝2，S＝2；k＝3，S＝7；k＝4，S＝18；k＝5，S＝41；k＝6，S＝88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k＞5？”，故选C.‎ ‎【答案】C 解答程序框图问题的三个关注点 ‎(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向执行直至结束．‎ ‎(2)关注输出的是哪个量，何时结束．‎ ‎(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，同时注意区分计数变量与循环变量．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．(2016·南昌第一次模拟)执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[解析] 由x2－1＝3得，x＝－2＜1(或x＝2＞1，舍去)，由log2x＝3得x＝8＞1符合要求，所以可以输入的实数x有2个．‎ ‎2．(2016·重庆适应性测试(二))执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的 s的值为(　　)‎ A. B. C. D. D　[解析] 依题意，当输入t的值是5时，执行题中的程序框图，s＝1，k＝2＜5，s＝1＋，k＝3＜5，s＝1＋－，k＝4＜5，s＝1＋－＋，k＝5≥5，此时结束循环，输出的s＝1＋－＋＝，选D.‎ ‎3．(2016·贵州适应性考试)执行如图程序框图，若输出的结果为170，则判断框内应补充的条件为(　　)‎ A．i＞9 B．i≥9‎ C．i＞11 D．i≥11‎ B　[解析] 要使输出的结果是170，则i＝7不满足判断框内的条件，i＝9满足判断框内的条件，故判断框内补充的条件为i≥9，选项B正确．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　推理与证明 自主练透　夯实双基 ‎1．归纳推理 ‎(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．‎ ‎(2)归纳推理的思维过程如下：‎ →→ ‎2．类比推理 ‎(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．‎ ‎(2)类比推理的思维过程如下：‎ →→ ‎[题组通关]‎ ‎1．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是(　　)‎ A．正四面体的内切球的半径是其高的 B．正四面体的内切球的半径是其高的 C．正四面体的内切球的半径是其高的 D．正四面体的内切球的半径是其高的 C　[解析] 原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar⇒r＝h.‎ 类比问题的解法应为等体积法，‎ V＝Sh＝4×Sr⇒r＝h，‎ 即正四面体的内切球的半径是其高的，故选C.‎ ‎2．(2016·广州综合测试(一))以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．‎ 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)‎ A．2 017×22 015　　　　　　 B．2 017×22 014‎ C．2 016×22 015 D．2 016×22 014‎ B　[解析] 当第一行有3个数时，最后一行仅有一个数为8＝23－2×(3＋1)；当第一行有4个数时，最后一行仅有一个数为20＝24－2×(4＋1)；当第一行有5个数时，最后一行仅有一个数为48＝25－2×(5＋1)；当第一行有6个数时，最后一行仅有一个数为112＝26－2×(6＋1)；…，归纳推理可得，当第一行有2 016个数时，最后一行仅有一个数为22 016－2×(2 ‎ ‎016＋1)＝2 017×22 014.‎ ‎3．(2016·高考山东卷)观察下列等式：‎ ＋＝×1×2；‎ ＋＋＋＝×2×3；‎ ＋＋＋…＋＝×3×4；‎ ＋＋＋…＋＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ ＋＋＋…＋＝__________．‎ ‎[解析] 根据已知，归纳可得结果为n(n＋1)．‎ ‎[答案] n(n＋1)‎ 课时作业 ‎1．若复数z满足iz＝2－4i，则在复平面内对应的点的坐标是(　　)‎ A．(2，4)　　　　　　　 B．(2，－4)‎ C．(－4，－2) D．(－4，2)‎ D　[解析] 由题意得，z＝＝－4－2i，所以＝－4＋2i，故其在复平面内对应的点的坐标是(－4，2)，选D.‎ ‎2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 A　[解析] 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.‎ ‎3．(2016·兰州诊断考试)若复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z的虚部为(　　)‎ A．4 B. C．－4 D．－ B　[解析] z＝＝＝＋i，所以z的虚部为，选B.‎ ‎4．(2016·郑州第二次质量检测)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是(　　)‎ A．2 014 B．2 015‎ C．2 016 D．2 017‎ D　[解析] 分析程序框图可知，当i为偶数时，S＝2 017，当i为奇数时，S＝2 016，而程序在i＝0时跳出循环，故输出的S＝2 017，故选D.‎ ‎5．(2016·长春质量检测(二))复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1·z2＝(　　)‎ A．12＋13i B．13＋12i C．－13i D．13i D　[解析] 复数z1在复平面内对应的点关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2＋3i，所以z1·z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.‎ ‎6．(2016·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ B　[解析] 第一次循环，S＝8，n＝2；第二次循环，S＝2，n＝3；第三次循环，S＝4，‎ n＝4，故输出S的值为4.‎ ‎7．设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：若四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体SABC的体积为V，则r＝(　　)‎ A. B. C. D. C　[解析] 设四面体的内切球的球心为O，则V＝VOABC＋VOSAB＋VOSAC＋VOSBC，即V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，所以r＝.‎ ‎8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若甲同学每科成绩不低于乙同学，且至少有一科成绩比乙高，则称“甲同学比乙同学成绩好．”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ B　[解析] 用A，B，C分别表示成绩为优秀、合格、不合格，显然事件A，B，C中都是最多只有一个元素，因此学生最多只有3个，容易验证，3个同学的语文、数学成绩分别为(A，C)，(B，B)，(C，A)时满足条件．故学生最多有3人．‎ ‎9．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是(　　)‎ A．k≤6? B．k≤7?‎ C．k≤8? D．k≤9?‎ B　[解析] 第一次执行循环，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环，得到S＝90，k＝8；第三次执行循环，得到S＝720，k＝7.此时满足条件，故选B.‎ ‎10．(2016·兰州实战考试)已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m的余数，例如MOD(8，3)＝2.如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为(　　)‎ A．16 B．14‎ C．12 D．10‎ A　[解析] 分析题意可知，输入的n的值可以被4整除但不能被3整除，故选A.‎ ‎11．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为(　　)‎ A．t≥ B．t≥ C．t≤ D．t≤ B　[解析] 依次运行程序框图中的语句可得，n＝2，x＝2t，a＝1；n＝4，x＝4t，a＝3；n＝6，x＝8t，a＝3.此时结束循环，输出的ax＝38t≥3，则8t≥1，t≥，故选B.‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝(　　)‎ A．1 006 B．1 007‎ C．1 008 D．1 009‎ B　[解析] 通过观察得a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8‎ ‎＝4，a9＝3，a10＝5，a11＝－3，a12＝6，…，所以a1＋a2＋a3＋a4＝3＝4－1，a5＋a6＋a7＋a8＝7＝8－1，a9＋a10＋a11＋a12＝11＝12－1，…，所以a2 013＋a2 014＋a2 015＋a2 016＝2 016－1＝2 015，又a4＝2，a8＝4，a12＝6，…，所以a2 016＝1 008，所以a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 015－1 008＝1 007.‎ ‎13．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a等于________．‎ ‎[解析] 依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎14．(2016·湖北七市(州)协作体联考)观察下列等式 ‎1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；‎ ‎1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；‎ ‎1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；‎ 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．‎ ‎[解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．‎ ‎[答案] n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)‎ ‎15．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为________．‎ ‎[解析] 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13，22，31，40，49，58，67，76，所以输出的x不小于40的概率为.‎ ‎[答案] ‎16．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是________.‎ ‎　‎ ‎[解析] 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.‎ ‎[答案] 10‎