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- 2021-06-16 发布
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专题4.7 正余弦定理应用
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
解三角形
正弦定理、余弦定理及其应用
√
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
【直击考点】
题组一 常识题
1.海上有A,B,C三个小岛,A,B两岛相距5海里,从A岛观测到C和B成45°角,从B岛观测到C和A成75°角,则B,C两岛间的距离是________海里.
【解析】易知∠ACB=60°,由正弦定理=,得=,即BC=5.
2.已知△ABC中,AB=,AC=,A=60°,则△ABC的面积为________.
【解析】由面积公式得S△ABC=AB·AC·sin A=.
3. 如图,山脚下有一座小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20 m,则山高CD=________m.
【解析】如图,设CD=x m,则AE=(x-20) m,tan 60°=,所以BD===x(m).在△AEC中,x-20=x,解得x=10(3+).
题组二 常错题
4.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC=________.
【解析】由已知可知∠BAD=60°,∠CAD=70°,所以∠BAC=60°+70°=130°.
5.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的方位是____________.
题组三 常考题
6.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为________.
【解析】设电视塔的高度为x m,则BC=x m,BD=x m.在△BCD中,由余弦定理,得3x2=x2+402-2×40x×cos 120°,即x2-20x-800=0,解得x=-20(舍去)或x=40.
7.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为________海里/小时.
【知识清单】
考点1 正弦定理、余弦定理的实际运用
仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
方向角
相对于某一方向的水平角(如图③).
图③
(1)北偏东α°:指北方向向东旋转α°到达目标方向.
(2)东北方向:指北偏东45°或东偏北45°.
(3)其他方向角类似.
坡角和坡比
坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角θ为坡角).
图④
坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比).
【考点深度剖析】
这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.
【重点难点突破】
考点1 正弦定理、余弦定理的实际运用
【1-1】甲,乙两船同时从点出发,甲以每小时的速度向正东航行,乙船以每小时的速度沿南偏东的方向航行,小时后,甲、乙两船分别到达两点,此时的大小为 ;
【答案】
平分BC,∴AB=AC=20km,根据余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC,得:1200=400+400-800cos∠BAC,∴cos∠BAC=- ,又∠BAC为三角形的内角,则∠BAC=120°.故答案为:120°
【1-2】某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,
∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.
(Ⅰ)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在AB、BC、CA上取点D,E,F,如图(1),使得EF‖AB,EF
⊥ED,在△DEF喂食,求△DEF 面积S△DEF的最大值;
(Ⅱ)现在准备新建造一个荷塘,分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,如图(2),建造△DEF连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF为正三角形,求△DEF边长的最小值.
(Ⅱ)设正的边长为,,
【思想方法】
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【温馨提醒】测量角度时,要准确理解方位角、方向角的概念,准确画出示意图是关键.
【易错试题常警惕】
(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等,这样可以优化解题过程。
(2)解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量。