【数学】2018届一轮复习北师大版同角三角函数的基本关系学案 5页

专题4 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．‎ ‎(2)商数关系：tan α＝.‎ ‎2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ ‎“‎1”‎的变换 ‎1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcosθ 同角三角函数关系式应用的注意事项 ‎(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，＝tan 3x 都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．‎ ‎(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．‎ ‎[例]　(2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·＋sin α ＝________.‎ ‎[解析]　原式＝cos α ＋sin α ‎＝cos α·＋ sin α·，‎ 因为α是第二象限角，‎ 所以sin α＞0, cos α＜0，‎ 所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式等于0.‎ ‎[答案]　0‎ ‎1.　若tan α＝2，则 ‎(1)＝________；‎ ‎(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.‎ ‎2.　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.‎ ‎(1)求sin x－cos x的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎[解]　(1)由sin x＋cos x＝，‎ 平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，‎ 整理得2sin xcos x＝－.‎ ‎∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.‎ 由x∈(－π，0)，知sin x<0，‎ 又sin x＋cos x>0，‎ ‎∴cos x>0，则sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎1.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D　因为α为第四象限角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－.‎ ‎2. (2017·厦门质检)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选B　∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α ‎－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.‎ ‎3.已知sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎4. sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.‎ 解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝44.‎ 答案：44 ‎5.已知tan α＝－，求：‎ ‎(1)的值；‎ ‎(2)的值；‎ ‎(3)sin2α＋2sin αcos α的值．‎ 解：(1)＝＝＝.‎ ‎(2)＝＝＝＝＝－.‎ ‎(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎