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- 2021-06-16 发布
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§ 2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对
应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离________的点的轨迹叫做抛物线,
点 F 叫做抛物线的________,直线 l 叫做抛物线的________.
2.抛物线的标准方程
(1)方程 y2=±2px,x2=±2py(p>0)叫做抛物线的________方程.
(2)抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向
_______.
(3)抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点坐标是____________,准线方程是__________,开口方向
________.
(4)抛物线 x2 =2py(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向
________.
(5)抛物线 x2=-2py(p>0)的焦点坐标是______,准线方程是________,开口方向________.
一、选择题
1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A.|a|
4 B.|a|
2 C.|a| D.-a
2
2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线x2
4
-y2
2
=1 上,则抛物线方程
为( )
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=2x D.y2=±8x
3.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a>p
2),则点 M 的横坐标是( )
A.a+p
2 B.a-p
2
C.a+p D.a-p
4.过点 M(2,4)作与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线 l 有( )
A.0 条 B.1 条
C.2 条 D.3 条
5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线
段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛
物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF
S△ACF
等于( )
A.4
5 B.2
3
C.4
7 D.1
2
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7.抛物线 x2+12y=0 的准线方程是__________.
8.若动点 P 在 y=2x2+1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是__________.
9.已知抛物线 x2=y+1 上一定点 A(-1,0)和两动点 P,Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横坐
标的取值范围是______________.
三、解答题
10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离
等于 5,求抛物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
11.求焦点在 x 轴上且截直线 2x-y+1=0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程.
能力提升
12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( )
A.1
2 B.1 C.2 D.4
13.已知抛物线 y2=2px (p>0)上的一点 M 到定点 A
7
2
,4 和焦点 F 的距离之和的最小值
等于 5,求抛物线的方程.
1.四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的
符号确定.当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时,开口方向为坐标
轴的负方向.
2.焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2=2py 通常又可以写成 y=ax2,这与以前学习的
二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程 y=ax2 来求其焦点和准线时,
必须先化成标准形式.
§2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
知识梳理
1.相等 焦点 准线
2.(1)标准 (2)(p
2
,0) x=-p
2
向右
(3)(-p
2
,0) x=p
2
向左 (4)(0,p
2) y=-p
2
向上 (5)(0,-p
2) y=p
2
向下
作业设计
1.B [因为 y2=ax,所以 p=|a|
2
,即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|
2
,故选 B.]
2.D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x2
4
-y2
2
=1 的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物
线的方程为 y2=8x 或 y2=-8x.]
3.B [由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x=-p
2
的距
离,所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a-p
2.]
4.C [容易发现点 M(2,4)在抛物线 y2=8x 上,这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时,或者 l 在
M 点处与抛物线相切时,l 与抛物线有一个公共点,故选 C.]
5.B [∵y2=2px 的焦点坐标为(p
2
,0),
∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-p
2
,即 x=y+p
2
,将其代入 y2=2px 得 y2=2py+
p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p,∴y1+y2
2
=p=2,∴抛物线
的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.]
6.A [如图所示,设过点 M( 3,0)的直线方程为 y=k(x- 3),代入 y2=2x 并整理,
得 k2x2-(2 3k2+2)x+3k2=0,
则 x1+x2=2 3k2+2
k2 .
因为|BF|=2,所以|BB′|=2.
不妨设 x2=2-1
2
=3
2
是方程的一个根,
可得 k2=
3
3
2
- 3 2
,
所以 x1=2.
S△BCF
S△ACF
=
1
2|BC|·d
1
2|AC|·d
=|BC|
|AC|
=|BB′|
|AA′|
= 2
2+1
2
=4
5.]
7.y=3
解析 抛物线 x2+12y=0,即 x2=-12y,故其准线方程是 y=3.
8.y=4x2
9.(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析 由题意知,设 P(x1,x21-1),Q(x2,x22-1),
即(-1-x1,1-x21)·(x2-x1,x22-x21)=0,
也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x21)·(x22-x21)=0.
∵x1≠x2,且 x1≠-1,
∴上式化简得 x2= 1
1-x1
-x1= 1
1-x1
+(1-x1)-1,
由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤-3.
10.解 设抛物线方程为 y2=-2px (p>0),
则焦点 F
-p
2
,0 ,由题意,得
m2=6p,
m2+ 3-p
2 2=5,
解得 p=4,
m=2 6,
或 p=4,
m=-2 6.
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m=±2 6.
抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2.
11.解 设所求抛物线方程为 y2=ax (a≠0).①
直线方程变形为 y=2x+1,②
设抛物线截直线所得弦为 AB.
②代入①,整理得 4x2+(4-a)x+1=0,
则|AB|= 1+22
a-4
4 2-4×1
4 = 15.
解得 a=12 或 a=-4.
∴所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-4x.
12.C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.
方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x=-p
2.
∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3)2+y2=16,
∴3+p
2
=4,∴p=2.
方法二 作图可知,抛物线 y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切于点(-1,0),
所以-p
2
=-1,p=2.]
13.解
(1)当点 A 在抛物线内部时,如图,42<2p·7
2
,即 p>16
7
时,|MF|+|MA|=|MA′|+|MA|.
当 A,M,A′共线时,
(|MF|+|MA|)min=5,故p
2
+7
2
=5,∴p=3 满足 p>16
7
,
∴抛物线方程为 y2=6x.
(2)当点 A 在抛物线外部或在抛物线上时 42≥2p·7
2
,即 0
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