【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第2节函数的单调性与最值学案 11页

第二节　函数的单调性与最值 ‎[最新考纲]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．‎ ‎1．函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的 图 像 描 述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．‎ ‎2．函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；‎ ‎(2)存在x0∈D，使得 f(x0)＝M ‎(3)对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；‎ ‎(4)存在x0∈D，使得 f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)‎ M为函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)‎ ‎1．函数单调性的结论 ‎(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；‎ eq f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＜0⇔f(x)在D上是减函数．‎ ‎(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．‎ ‎(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．‎ ‎(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．‎ ‎2．函数最值存在的2个结论 ‎(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．‎ ‎(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)‎ ‎(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)‎ ‎(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上(　　)‎ A．递减　　　　　 B．递增 C．先递减后递增 D．先递增后递减 C　[因为函数y＝x2－6x＋10的图像为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x＝3，所以函数y＝x2－6x＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]‎ ‎2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)‎ A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4‎ A　[y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.]‎ ‎3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．‎ 　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，‎ 即k＜－.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．‎ ‎2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]‎ 考点1　确定函数的单调性(区间)‎ ‎　确定函数单调性的4种方法 ‎(1)定义法：利用定义判断．‎ ‎(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．‎ ‎(3)图像法：由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．‎ ‎(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．‎ ‎　求函数的单调区间 ‎　(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)‎ A．　　　 B．和[2，＋∞)‎ C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)‎ ‎(2)函数y＝ 的单调递增区间为________，单调递减区间为________．‎ ‎(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]　[ (1)y＝|x2－3x＋2|＝ 如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和.故选B.‎ ‎(2)令u＝x2＋x－6，‎ 则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．‎ 令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.‎ 易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，‎ 所以y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．]‎ ‎　(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．‎ ‎(2)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．‎ ‎　含参函数的单调性 ‎　[一题多解]判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的单调性．‎ ‎[解]　法一：(定义法)设1≤x1＜x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax＋－ ‎＝(x2－x1)，‎ 由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，‎ ‎1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.‎ 又1＜a＜3，‎ 所以2＜a(x1＋x2)＜12，‎ 得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，‎ 即f(x2)＞f(x1)，‎ 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．‎ 法二：(导数法)因为f′(x)＝2ax－＝，‎ 因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，‎ 又1＜a＜3，‎ 所以2ax3－1＞0，‎ 所以f′(x)＞0，‎ 所以函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．‎ ‎　定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．‎ ‎　1.函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为________．‎ ‎(－∞，－1]，[0,1]　[由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图像如图．‎ 由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．]‎ ‎2．判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．‎ ‎[解]　法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，‎ f(x)＝a＝a，‎ f(x1)－f(x2)＝a－a ‎＝，由于－1＜x1＜x2＜1，‎ 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，‎ 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，‎ 即f(x1)＞f(x2)，‎ 函数f(x)在(－1,1)上递减；‎ 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，‎ 函数f(x)在(－1,1)上递增．‎ 法二：(导数法)f′(x)＝＝，‎ 所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，‎ 即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，‎ 当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．‎ 考点2　函数的最值 ‎　求函数最值的5种常用方法及其思路 ‎(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．‎ ‎(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．‎ ‎(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．‎ ‎(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．‎ ‎(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．‎ ‎　(1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,2] B．[－1,0]‎ C．[1,2] D．[0,2]‎ ‎(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．‎ ‎(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．‎ ‎(1)D　(2)3　(3)　[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．‎ 故当x＝1时取得最小值2＋a，‎ ‎∵f(x)的最小值为f(0)，‎ ‎∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，‎ 此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.‎ 又a≥0，得0≤a≤2.故选D.‎ ‎(2)∵f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.‎ ‎(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]‎ ‎[逆向问题]　若函数f(x)＝－＋b(a＞0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.‎ ‎1　　[∵f(x)＝－＋b(a＞0)在上是增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.‎ 即解得a＝1，b＝.]‎ ‎　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．‎ ‎(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．‎ ‎(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，则最小值为函数 f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数 f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．‎ ‎　1.函数f(x)＝的值域为________．‎ ‎(－∞，－4]∪[4，＋∞)　[当x＞0时，f(x)＝x＋≥4，‎ 当且仅当x＝2时取等号；‎ 当x＜0时，－x＋≥4，‎ 即f(x)＝x＋≤－4，‎ 当且仅当x＝－2时取等号，‎ 所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]‎ ‎2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x ‎，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．‎ ‎1　[法一：(图像法)‎ 在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图像，‎ 依题意，h(x)的图像如图所示．‎ 易知点A(2,1)为图像的最高点，‎ 因此h(x)的最大值为h(2)＝1.‎ 法二：(单调性法)依题意，h(x)＝ 当0＜x≤2时，h(x)＝log2 x是增函数，‎ 当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，‎ 所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]‎ 考点3　函数单调性的应用 ‎　比较大小 ‎　比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．‎ ‎　已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，‎ 当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c D　[根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]‎ ‎　本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．‎ ‎　解不等式 ‎　求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x ‎))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．‎ ‎　定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(‎2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[－1,2) B．[0,2)‎ C．[0,1) D．[－1,1)‎ C　[因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，‎ 所以－2≤‎2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]‎ ‎　本例在求解时，应注意隐含条件为a2－a∈[－2,2]，‎2a－2∈[－2,2]．‎ ‎[教师备选例题]‎ f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．‎ ‎(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8