高中数学必修3教案：1_3_2算法案例 5页

‎§1.3.2算法案例 ‎ ————秦九韶算法 ‎ 学习目标 ‎ ‎1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。‎ ‎2.理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。‎ ‎ 重点难点 ‎ 重点：理解秦九韶算法的思想。‎ 难点：用循环结构表示算法的步骤。‎ ‎ 学法指导 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法. ‎ ‎ 问题探究 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 ‎ 思考1:对于多项式，求的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？‎ 思考2:在上述问题中，若先计算的值，然后依次计算，，的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？ ‎ 小结：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。‎ 思考3:利用后一种算法求多项式的值，这个多项式应写成哪种形式？‎ 思考4:对于由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ ‎ 第一步，计算. ‎ 第二步，‎ 第三步，‎ ‎ …‎ 第步，计算 思考5:上述求多项式 的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ ‎ 思考6:在秦九韶算法中，记那么第步的算式是什么？‎ 知识探究(二):秦九韶算法的程序设计 ‎ 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？‎ 第一步，‎ 第二步，‎ 第三步，‎ 第四步，‎ 第五步，‎ 思考2:该算法的程序框图如何表示？‎ 思考3:该程序框图对应的程序如何表述？‎ 理论迁移 例1 已知一个5次多项式为 ‎ ‎ 用秦九韶算法求的值.‎ 例2 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？‎ INPUT “x=”；a n=0‎ y=0‎ WHLE n<5‎ ‎ y=y+(n+1)*a∧n ‎ n=n+1‎ WEND PRINT y END ‎ 目标检测 ‎1、利用秦九韶算法求多项式在的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）‎ A.164 B.3767 ‎ ‎ C.86652 D.85169‎ ‎2、利用秦九韶算法计算多项式 ‎ 当=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ）‎ A.6，6 B.5，6 ‎ C.5，5 D.6，5‎ ‎3、利用秦九韶算法求多项式在的值，写出详细步骤。‎ ‎4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果s表示（ ）‎ A.的值 ‎ B.的值 C.的值 ‎ D.以上都不对 开始 输入 输出S 结束 ‎5、已知n次多项式 如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，‎ ‎（1）计算的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值需要多少次运算？‎ ‎（2）若采取秦九韶算法：‎ ‎（k＝0， 1，2，…，n－1），计算的值只需6次运算，那么计算的值共需要多少次运算？‎ ‎（3）若采取秦九韶算法，设ai=i+1，i=0，1，…，n，求P5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）‎ ‎ 纠错矫正 ‎ 总结反思 资料：秦九韶的生平 秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。 ‎ ‎ 秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：‎ ‎（1）“大衍求一术”。  ‎ ‎ 　即为一次同余式组解法。西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。 ‎ ‎ (2)线性方程组解法。‎ ‎ 他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。‎ ‎(3)高次方程数值解法。‎ ‎　他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。　　西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。‎ ‎ (4)“三斜求积”。‎ ‎　他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。这与西方的海伦公式是等价的。‎ ‎※自我评价（ ）‎ A、课前自主学习认真，学案完成很好；‎ 你真棒，继续坚持。‎ B、课前自主学习一般，学案完成良好；‎ 下次争取做的更好。‎ C、课前自主学习较差，学案空白较多；‎ 注意学习方法，提高学习效率。‎