高中数学必修3教案：3_3_1几何概型（教、学案） 7页

3. 3.1 几何概型 教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概 率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随 机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的 P（A）的 公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通 俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤 其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想， 把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题． 教学目标：1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运 用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法， 设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力． 3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提 高学生对自然界的认知水平． 教学重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教 科书中的转盘模型、例 2 中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作， 以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试 验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数， 进行模拟活动． 教学过程： 一、问题情境 如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则 乙获胜． 问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率． 二、建立模型 1. 提出问题 首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面 特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母 B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中 B 与 N 的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率 的因素的确定性）． 题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型． 注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能 还与其他因素有关，这是错误的． （2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）． 2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样 的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： 3. 再次提出问题，并组织学生讨论 （1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？ （2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，求发 现草履虫的概率． （3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 于 10min 的概率． 通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法． 三、典型例题 1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30～7：30 之间把报纸送到你家，而 你父亲离开家去工作的时间在早上 7：00～8：00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称 为事件 A）的概率是多少． 分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法． 解法 1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示 父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型 的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件 A 发生，所以 解法 2：设 X，Y 是 0～1 之间的均匀随机数．X＋6.5 表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7 表示父亲离开家去工作的时间．如果 Y＋7＞X＋6.5，即 Y＞X－0.5，那么父亲在离开 家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到 P（A）． 教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的 解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数 的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多， 频率越接近概率． 2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆 子数之比，并以此估计圆周率的值． 解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆 子数与这个区域的面积近似成正比，即 假设正方形的边长为 2，则 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以 这样就得到了π的近似值． 另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下： （1）产生两组 0～1 区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND； （2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2； （3）数出落在圆内 a2＋b2＜1 的豆子数 N1，计算 （N 代表落在正方形中的豆子 数）． 可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高． 本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积． ［练 习］ 1. 如图 30-4，如果你向靶子上射 200 镖，你期望多少镖落在黑色区域． 2. 利用随机模拟方法计算图 30-5 中阴影部分（y＝1 和 y＝x2 围成的部分）的面积． 3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积． 作业：课本 3.3.1 几何概型 课前预习学案 一、预习目标 1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法， 设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力． 二、预习内容 1. ，简称为几何概型． 2.在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： 3. 讨论： （1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？ （ 2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，求 发现草履虫的概率． 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 学习重点与难点：几何概型的计算方法． 二、学习过程： 例 1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30～7：30 之间把报纸送到你家， 而你父亲离开家去工作的时间在早上 7：00～8：00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸 （称为事件 A）的概率是多少． 分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法． 解法 1： 解法 2： 例 2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的 豆子数之比，并以此估计圆周率的值． 解： 用计算器或计算机模拟，步骤如下： （1） （2） （3） 三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测 一、选择题 1. 取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于 1 m 的概率是. A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D.不确定 2. 已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是 A. 10 1 B. 9 1 C. 11 1 D. 8 1 3. 在 1 万 km2 的海域中有 40 km2 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意 一点钻探，钻到油层面的概率是. A. 251 1 B. 249 1 C. 250 1 D. 252 1 二、填空题 1. 如下图，在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形， 向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________. 3cm 2cm 2. 如下图，在一个边长为 a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分 别为 3 1 a 与 2 1 a，高为 b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 ________. a a a b 1 1 2 3 三解答题 1 在等腰 Rt△ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长小于 AC 的长的概率. 答案一、选择题 1. B 2. A 3. C 二、填空题 1. 9 4 2. 12 5 三、解答题 解：在 AB 上截取 AC′=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜ CA  ） = A B C C 'M 答：AM 的长小于 AC 的长的概率为 2 2 . 2 2 AB AC AB CA 课后练习与提高 1．两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大 于 2 m 的概率是________. 2. 如下图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°的终边上，任作一条射线 OA，则射 线落在∠xOT 内的概率是________. x y O A T 3. 如下图，在半径为 1 的半圆内，放置一个边长为 2 1 的正方形 ABCD，向半圆内任 投一点，该点落在正方形内的概率为_________. A B C D 4. 在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？