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- 2021-06-16 发布
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分类计数原理与分步计数原理
实例引入
1. 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.一天里火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
共有3+2=5种不同的走法.
分类计数原理
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn种不同的办法.
对于分类计数原理,注意以下几点:
⑴从分类计数原理中可以看出,各类之间相互独立,都能完成这件事,且各类方法数相加,所以分类计数原理又称加法原理;
⑵分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类的标准,然后在确定的分类标准下进行分类;
⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法都是不同
的方法.
2. 从甲地到乙地,先乘火车到丙地,再乘汽车到乙地.一天中从甲地到丙地火车有3班,从丙地到乙地汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
共有3×2=6种不同的走法.
分步计数原理
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn种不同的办法.
对于分步计数原理,注意以下几点:
⑴分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤完成了,这件事才算完成;分步计数原理又叫乘法原理.
⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;
⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才算完成.
两个原理的相同之处:
⑴目的相同:都要“做一件事并完成它”
⑵所问相同:即问“共有几种不同方法”
两个原理的不同之处:
分类计数用于分类,各类间独立、互斥.各类中任何一种方法都能够独立完成这件事.
分步计数原理用于分步,步步相扣,缺一不可,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第三层放有
2本不同的体育书.
⑴从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
⑵从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?
解:⑴N=m1+m2+m3=4+3+2=9. (分类计数原理)
⑵N=m1×m2×m3=4×3×2=24.(分步计数原理)
课堂练习
1.填空:
⑴一件工作可以用2种方法完成,有5人 会用第1种方法完成,另有4人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件 工作,不同选法的种数是有 9种.
(分类计数原理) 5+4=9
⑵从A村去B村的道路有3条,从B村去C 村的道路有2条,从A村经B村去C村,不同走法的种数是 6种 .
(分步计数原理) 3×2=6
2.现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名,高中三年级的学生4名.
⑴从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?
⑵从三个年级的学生中各选1人参加外宾的活动,有多少种不同的选法?
(1) 3+5+4=12 (分类计数原理)
⑵ 3×5×4=60 (分步计数原理)
例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9这10个数字,这4个拨号盘可以
组成多少个四位数字号码?
3.一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前四位数字是统一的,后四位数字都是0到9之间的一个数字,那么不同的电话号码最多有多少个?
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?
4.从5位同学中产生1名组长、1名副组长,有多少种不同的选法?
课堂小结
1. 分类计数原理; 2. 分步计数原理.
课后作业
《习案》三十六.
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