高考数学总复习第八章立体几何课时规范练38空间几何体的表面积与体积理新人教A版 8页

课时规范练 38 空间几何体的表面积与体积 一、基础巩固组 1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.12+4 B.18+8 C.28 D.20+8 2.(2017 安徽黄山二模,理 6)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如图所示,则 原圆锥的体积为 ( ) A.1 B. C. D. 3.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为 2∶1,顶点都 在一个球面上,若该球的表面积为 ,则此三棱柱的侧面积为( ) A. B. C.8 D.6 4.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( ) A. B. C. D.1+ 5.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( ) A.2 B. C. D. 〚导学号 21500743〛 6.(2017 宁夏银川二模,理 9)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC= ,∠ABC=90°,若四面体 ABCD 体积的最大值为 3,则这个球的表面积为( ) A.2π B.4π C.8π D.16π 7. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上,AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的 内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为( ) A. B.1 C. D. 〚导学号 21500744〛 8. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧棱 PA⊥底面 ABCD,PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为 . 9.(2017 河北武邑中学一模,理 13)已知一个圆锥的 母线长为 2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积 为 . 10.(2017 天津河东区一模,理 11)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积 为 . 11.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形 组成,则该多面体的体积是 . 12.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H 为垂足,α截球 O 所得截面的面积 为π,则球 O 的表面积为 . 二、综合提升组 13.如图是某个几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该 几何体外接球的直 径为( ) A.2 B.2 C. D.2 14. 一个四面体的顶点都在球面上,它的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为 中心边长为 1 的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( ) A.π B.3π C.4π D.6π〚导学号 21500745〛 15.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积 为 . 16.(2017 陕西咸阳二模,理 16)已知一个三棱锥的所有棱长均为 ,则该三棱锥的内切球的体积 为 . 三、创新应用组 17.(2017 石家庄二中模拟,理 15)半径为 1 的球 O 内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最 大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 . 18.(2017 全国Ⅰ,理 16)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中 心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线 剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的 边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 . 〚导学号 21500746〛 课时规范练 38 空间几何体的表面积与体积 1.D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图. 则该几何体的表面积为 S=2 2×2+4×2×2+2 4=20+8 ,故选 D. 2.D 由三视图可得底面圆的半径为 =2,圆锥的高为 =2, ∴原圆锥的体积为 22×2= ,故选 D. 3.D 如图,根据球的表面积可得球的半径为 r= ,设三棱柱的底面边长为 x,则 =x2+ ,解 得 x=1,故该三棱柱的侧面积为 3×1×2=6. 4.C 由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积 V1= ,下面是底面积为 1,高 为 1 的四棱锥,体积 V2= 1×1= ,所以该几何体的体积 V=V1+V2= 故选 C. 5.D 由已知中的三视图,可知该几何体是一个长方体,切去了一个边长为 1,高也是 1 的正四棱锥 (如图), 长方体 ABCD-A'B'C'D'切去正四棱锥 S-ABCD. 长方体的体积为 V 长方体=1×1×2=2,正四棱锥的体积为 V 正四棱锥= 1×1×1= , 故该几何体的体积 V=2- 故选 D. 6.D 由题意,知 S△ABC=3,设△ABC 所在球的小圆的圆心为 Q,则 Q 为 AC 的中点,当 DQ 与面 ABC 垂直 时,四面体 ABCD 的最大体积为 S△ABC·DQ=3, ∴DQ=3, 如图,设球心为 O,半径为 R,则在 Rt△AQO 中, OA2=AQ2+OQ2,即 R2=( )2+(3-R)2,∴R=2, 则这个球的表面积为 S=4π×22=16π.故选 D. 7. C 由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上,BC 为△ABC 所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点,同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点. 设正方形 BCC1B1 的边长为 x, 在 Rt△OMC1 中,OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径),所以 =1,即 x= ,则 AB=AC=1. 所以侧面 ABB1A1 的面积 S= 1= 8 显然 PA⊥面 BCE,底面 BCE 的面积为 1×2×sin 120°= ,所以 VP-BCE= 2 9 由题意知圆锥的底面周长为 2π,设圆锥的底面半径是 r,则得到 2πr=2π,解得 r=1, ∴圆锥的高为 h= ∴圆锥的体积为 V= r2h= 10 如图所示, 该几何体为如下四棱锥 P-ABCD,其中 PA⊥底面 ABCD, 底面四边形由直角梯形 ABED,Rt△DCE 组成,AB∥DE,AB⊥BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2. ∴S 底面 ABCD= 1+ 2×1= V= 2= 11 易知该几何体是正四棱锥.连接 BD,设正四棱锥 P-ABCD,由 PD=PB=1,BD= ,得 PD⊥PB.设底 面中心 O,则四棱锥的高 PO= ,则其体积是 V= Sh= 12 12 如图,设球 O 的半径为 R,则 AH= ,OH= 又 π·EH2=π, ∴EH=1. ∵在 Rt△OEH 中,R2= +12,∴R2= ∴S 球=4πR2= 13.D 由题意可知三视图复原的几何体如图,四棱锥 S-BCDE 是正方体的一部分,正方体的棱长为 2, 所以几何体外接球为正方体外接球,该几何体外接球的直径为 2 14.B 由三视图可知,该四面体是正四面体. ∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 ∴此四面体的外接球的表面积为 4π =3π,故选 B. 15.24π 如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD= S 正方形 ABCD·OO1= ( )2×OO1= , ∴OO1= ,AO1= , 在 Rt△OO1A 中,OA= ,即 R= , ∴S 球=4πR2=24π. 16 如图,O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心,正四面体的棱长为 ,所以 OE 为内切球的半径, 设 OA=OB=R, 在等边三角形 BCD 中,BE= ,AE= 由 OB2=OE2+BE2,即有 R2= , 解得 R= OE=AE-R= ,则其内切球的半径是 ,故内切球的体积为 17.4π-3 如图所示,设球心为 O 点,上下底面的中心分别为 O1,O2,设正三棱柱的底面边长与高分 别为 x,h,则 O2A= x,在 Rt△OAO2 中, x2=1,化为 h2=4- x2, ∵S 侧=3xh, =9x2h2=12x2(3-x2)≤12 =27,当且仅当 x= 时取等号,S 侧=3 , ∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 4π-3 ,故答案为 4π-3 18.4 如图所示,连接 OD,交 BC 于点 G.由题意知 OD⊥BC,OG= BC. 设 OG=x,则 BC=2 x,DG=5-x, 三棱锥的高 h= 因为 S△ABC= 2 x×3x=3 x2,所以三棱锥的体积 V= S△ABC·h= x2 令 f(x)=25x4-10x5,x ,则 f'(x)=100x3-50x4.令 f'(x)=0,可得 x=2, 则 f(x)在(0,2)单调递增,在 单调递减, 所以 f(x)max=f(2)=80. 所以 V =4 ,所以三棱锥体积的最大值为 4