【数学】2019届一轮复习北师大版2-3　函数的奇偶性与周期性学案 15页

‎§2.3　函数的奇偶性与周期性 最新考纲 考情考向分析 ‎1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．‎ ‎2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．‎ ‎3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.‎ 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.‎ ‎1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 ‎2.周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ 知识拓展 ‎1．函数奇偶性常用结论 ‎(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．‎ ‎(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．‎ ‎(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．‎ ‎2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　)‎ ‎(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)‎ ‎(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　√　)‎ ‎(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　√　)‎ ‎(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.‎ 答案　1‎ 解析　f＝f＝－4×2＋2＝1.‎ ‎4．[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．‎ 答案　(－2,0)∪(2,5]‎ 解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴‎ 当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.‎ 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．‎ 题组三　易错自纠 ‎5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，‎ ‎∴a＝，∴a＋b＝，故选B.‎ ‎6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.‎ 答案　3‎ 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．‎ 又f(x)的图象关于直线x＝2对称，‎ ‎∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.‎ 题型一　判断函数的奇偶性 典例 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ ‎∴f(x)＝＋＝0.‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．‎ ‎∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x＞0时，－x＜0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．‎ 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．‎ 跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x 答案　D 解析　对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)‎ ‎＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；‎ 对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；‎ 对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；‎ 对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．‎ ‎(2)函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 答案　C 解析　易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．‎ 题型二　函数的周期性及其应用 ‎1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝‎ ‎________.‎ 答案　 解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，‎ 所以f＋f＝f＋f ‎＝f＋f＝－f－f ‎＝－＋sin ＝.‎ ‎2．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 答案　6‎ 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期为6的周期函数，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．‎ 又f(x)是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ ‎3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.‎ 答案　339‎ 解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.‎ ‎∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；‎ 当－1≤x<3时，f(x)＝x，‎ ‎∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，‎ f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，‎ f(6)＝f(0)＝0，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)‎ ‎＝1×＝336.‎ 又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.‎ 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．‎ 对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．‎ 题型三　函数性质的综合应用 命题点1　求函数值或函数解析式 典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.‎ 答案　12‎ 解析　方法一　令x＞0，则－x＜0.‎ ‎∴f(－x)＝－2x3＋x2.‎ ‎∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)．‎ ‎∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．‎ ‎∴f(2)＝2×23－22＝12.‎ 方法二　f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.‎ ‎(2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.‎ 答案　 解析　∵当x＞0时，－x＜0，‎ ‎∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，‎ ‎∴f(x)＝ 命题点2　求参数问题 典例 (1)设函数f(x)＝为奇函数，则k＝____.‎ 答案　－2‎ 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，‎ x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2.‎ ‎(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．‎ 答案　－10‎ 解析　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，‎ 所以f＝f且f(－1)＝f(1)，‎ 故f＝f，‎ 从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，‎ 从而a＋3b＝－10.‎ 命题点3　利用函数的性质解不等式 典例 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)‎ A．f(3)2>1，‎ ‎∴f(3)2，‎ ‎∴x·f(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ 思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．‎ ‎(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：‎ ‎①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.‎ 跟踪训练 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,10)‎ C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)‎ 答案　A 解析　由题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)<0＝f(0)等价于lg x<0，故00时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝____________.‎ 答案　－－1‎ 解析　∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，‎ ‎∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，‎ 即当x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.‎ ‎9．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.‎ 答案　 解析　依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ ‎∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ‎＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)＋f(0)‎ ‎＝－1＋21－1＋20－1＝.‎ ‎10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，‎ 所以f(ln t)＝f，‎ 由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1)．‎ 又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，‎ 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ ‎11．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知 所以10，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，则f(2 019)等于________．‎ 答案　1‎ 解析　因为f(x)>0，f(x＋2)＝，‎ 所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]‎ ‎＝＝＝f(x)，‎ 即函数f(x)的周期是4，‎ 所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．‎ 因为函数f(x)为偶函数，‎ 所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1)．‎ 当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.‎ 由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.‎ ‎14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有 ‎①2是函数f(x)的周期；‎ ‎②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；‎ ‎③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.‎ 其中所有正确命题的序号是________．‎ 答案　①②‎ 解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，‎ 则有f(t＋2)＝f(t)，‎ 因此2是函数f(x)的周期，故①正确；‎ 当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，‎ 根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；‎ 由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．‎ ‎15．(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．‎ 答案　7‎ 解析　因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，‎ 则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.‎ 又f(1)＝0，‎ ‎∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，‎ 故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．‎ ‎16．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．‎ ‎(1)求实数a的取值范围；‎ ‎(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．‎ 解　(1)f(x)＝要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，‎ 故a的取值范围为[－2,2]．‎ ‎(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0.‎ 设x>0，则－x<0.‎ ‎∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，‎ ‎∴g(x)＝