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- 2021-06-16 发布
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第
3
课时
最值与范围问题
考向一 圆锥曲线中的最值问题
【例
1
】
(2017
·
山东高考
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
椭
圆
E: =1(a>b>0)
的
离心率为 ,焦距为
2.
①
(1)
求椭圆
E
的方程
.
(2)
如图
,
动直线
l
:y
=k
1
x-
交椭圆
E
于
A,B
两点
,C
是椭
圆
E
上一点
,
直线
OC
的斜率为
k
2
,
且
k
1
k
2
= ,M
是线段
OC
延长线上一点
,
且
|MC|∶|AB|=2∶3
,
②
圆
M
的
半径为
|MC|,OS,OT
是圆
M
的两条切线
,
切点分别为
S,T,
求
∠
SOT
的最大值
③
,
并求取得最大值时直线
l
的斜率
.
【题眼直击
】
题眼
思维导引
①
e= ,2c=2
②
想到弦长公式的应用
③
想到换元及二次函数思想求最值
【解析
】
(1)
由题意知
:
所以
a= ,
所以椭圆
E
的方程为
+y
2
=1.
(2)
联立
:
得
:(1+2 )x
2
-2 k
1
x-
=0,
所以
x
1
+x
2
= ,x
1
·
x
2
=
所以
|AB|=
因为
|CM|∶|AB|=2∶3,
所以
|CM|=
联立
:
所以
x=
所以
OC=
OM=OC+CM=
因为
k
1
k
2
=
所以
所以
OC=
设
θ=∠SOM,
所以
sin θ
所以
sin θ=
令
t=
所以原式
=
所以
t=
时取最大值
,
此时
k
1
=± ;
此时
sin θ
最大
值为
,
即
θ=30°,∠SOT=60°.
【拓展提升
】
圆锥曲线中的最值问题类型较多
,
解法灵活多变
,
但总体上主要有两种方法
:
一是利用几何方法
,
即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解
;
二是利用代数方法
,
即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个
(
些
)
参数的函数
(
解析式
),
然后利用函数方法、不等式方法等进行求解
.
【变式训练
】
已知椭圆
C: =1(a>b>0)
的离心率为
,
两焦点与
短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为
.
(1)
求椭圆
C
的方程
.
(2)
设与圆
O:x
2
+y
2
=
相切的直线
l
交椭圆
C
于
A,B
两点
(O
为坐标原点
),
求
△AOB
面积的最大值
.
【解析
】
(1)
由题设
:e= bc
= ,a
2
-b
2
=c
2
,
解得
a
2
=3,b
2
=1,
所以椭圆
C
的方程为
+y
2
=1.
(2)
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
①
当
AB⊥x
轴时
,|AB|= .
②
当
AB
与
x
轴不垂直时
,
设直线
AB
的方程为
y=kx+m
,
由已知 得
m
2
= (k
2
+1).
把
y=kx+m
代入椭圆方程消去
y,
整理得
(3k
2
+1)x
2
+6kmx+3m
2
-3=0,
有
x
1
+x
2
= ,x
1
x
2
=
|AB|
2
=(x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=(x
1
-x
2
)
2
+k
2
(x
1
-x
2
)
2
=
(1+k
2
)(x
1
-x
2
)
2
=(1+k
2
)[(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]
=(1+k
2
)
当且仅当
9k
2
= ,
即
k=±
时等号成立
.
当
k=0
时
,|AB|= ,
综上所述
,|AB|
max
=2,
从而
△AOB
面积的最大值为
.
考向二 圆锥曲线中的范围问题
【例
2
】
(2018
·
浙江高考
)
如图
,
已知点
P
是
y
轴左侧
(
不含
y
轴
)
一点
,
抛物线
C:y
2
=4x
上存在不同的两点
A,B
满足
PA,PB
的中点均在
C
上
.
(1)
设
AB
中点为
M
①
,证明
:PM
垂直于
y
轴
.
(2)
若
P
是半椭圆
x
2
+ =1(x<0)
上的动点
②
,求
△PAB
面积的取值范围
③
.
【题眼直击
】
题眼
思维导引
①
想到求出
AB
的中点坐标
②
想到
P
点的变化范围
③
想到利用函数思想求最值
【解析
】
(1)
设
P(x
0
,y
0
),
因为
PA,PB
的中点在抛物线上
,
所以
y
1
,y
2
为方程
即
y
2
-2y
0
y+8x
0
- =0
的两个
不同的实数根
.
所以
y
1
+y
2
=2y
0
.
因此
,PM
垂直于
y
轴
.
(2)
由
(1)
可知
所以
|PM|=
|y
1
-y
2
|=
因此
,△PAB
的面积
S
△PAB
= |PM|
·
|y
1
-y
2
|=
因为
=1(x
0
<0),
所以
-4x
0
=-4 -4x
0
+4
∈[4,5].
因此
,△PAB
面积的取值范围是
【拓展提升
】
求解范围问题的常见求法
1.
利用判别式来构造不等关系
,
从而确定参数的取值范围
.
2.
利用已知参数的范围
,
求新参数的范围
,
解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系
.
3.
利用隐含或已知的不等关系建立不等式
,
从而求出参数的取值范围
.
4.
利用基本不等式求出参数的取值范围
.
5.
利用函数的值域的求法
,
确定参数的取值范围
.
【变式训练
】
点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
是椭圆
C: +y
2
=1
上两点
,
点
M
满
足
(1)
若点
M
在椭圆上
,
求证
:x
1
x
2
+2y
1
y
2
=-2.
(2)
若
x
1
x
2
+2y
1
y
2
=0,
求点
M
到直线
x+y
=4
距离的取值范围
.
【解析
】
设点
M(x
0
,y
0
),
由
可得
:(x
0
,y
0
)=(x
1
,y
1
)+2(x
2
,y
2
),
即 ①
(1)
因为点
M
在椭圆上
,
所以
=1.
将
①
代入上式得
+(y
1
+2y
2
)
2
=1,
展开并整理得
+2x
1
x
2
+4y
1
y
2
=1.
因为点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
在椭圆上
,
所以
所以
1+4+2x
1
x
2
+4y
1
y
2
=1,
即
x
1
x
2
+2y
1
y
2
=-2.
(2) +(y
1
+2y
2
)
2
= +2x
1
x
2
+4y
1
y
2
= +2(x
1
x
2
+2y
1
y
2
)
=1+4+2×0=5,
所以
即点
M
在椭圆
=1
上
.
设与直线
x+y
=4
平行且与椭圆
=1
相切的直线方
程为
x+y
=λ.
消去
y
并整理得
3x
2
-4λx+2λ
2
-10=0,
令判别式
Δ=0,
即
16λ
2
-3×4×(2λ
2
-10)=0,
解得
λ=± .
点
M
到直线
x+y
=4
距离的最大值为
最小值为 所以点
M
到直线
x+y
=4
距离
的取值范围是
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