2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题5 解析几何2-5-解答题 2 32页

第 2 课时 定值与定点问题 考向一　圆锥曲线中的定点问题 【例 1 】 (2019 · 大庆一模 ) 已知椭圆 C: +y 2 =1(a>1) 的上顶点为 A, 右焦点为 F, 直线 AF 与圆 M ： (x-3) 2 +(y-1) 2 =3 相切 ① ． (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点 , 且 ② ，求证 : 直线 l 过定点 ③ ，并求该定点的坐标 . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到直线与圆相切的条件 ② 想到两直线互相垂直 ③ 化为直线的点斜式 , 求定点坐标 【解析 】 (1) 圆 M 的圆心为 (3,1), 半径 r= . 由题意知 A(0,1), 设 F(c,0), 所以直线 AF 的方程为 +y=1, 即 x+cy-c =0, 由直线 AF 与圆 M 相切 , 得 解得 c 2 =2,a 2 =c 2 +1=3, 故椭圆 C 的方程为 +y 2 =1. (2) 由 =0 知 AP⊥AQ, 从而直线 AP 与坐标轴不垂 直 , 故可设直线 AP 的方程为 y=kx+1, 直线 AQ 的方程为 y=- x+1. 联立得方程组 整理得 (1+3k 2 )x 2 +6kx=0, 解得 x=0 或 x= 故点 P 的坐标为 同理 , 点 Q 的坐标为 所以直线 l 的斜率为 所以直线 l 的方程为 y= 即 y= 所以直线 l 过定点 【拓展提升 】 定点问题的常见解法 (1) 假设定点坐标 , 根据题意选择参数 , 建立一个直线系或曲线系方程 , 而该方程与参数无关 , 故得到一个关于定点坐标的方程组 , 以这个方程组的解为坐标的点即所求定点 . (2) 从特殊位置入手 , 找出定点 , 再证明该点符合题意 . 【变式训练 】 (2019 · 北京高考 ) 已知椭圆 C: =1 的右焦点为 (1,0), 且经过点 A(0,1). (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 设 O 为原点 , 直线 l :y =kx+t(t≠±1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P,Q, 直线 AP 与 x 轴交于点 M, 直线 AQ 与 x 轴交于点 N, 若 |OM| · |ON|=2, 求证 : 直线 l 经过定点 . 【解析 】 (1) 由已知 ,c=1,b=1, 又 a 2 =b 2 +c 2 , 所以 a 2 =2, 所以 C 的方程为 +y 2 =1. (2) 设 P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ), 由 消去 y 得 (2k 2 +1)x 2 +4ktx+2t 2 -2=0,① 因为直线与椭圆有两个交点 , 所以必须 Δ>0,② x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = ,③ 直线 AP 方程为 y= x+1, 与 y=0 联立得 x= 即 M 同理 ,N (y 1 -1)(y 2 -1)=(kx 1 +t-1)(kx 2 +t-1) =k 2 x 1 x 2 +k(t-1)(x 1 +x 2 )+(t-1) 2 = 所以 |OM| · |ON|= 所以 |(t+1)(t-1)|=|t-1| 2 ,t=1( 舍去 ) 或 0, 当 t=0 时 ,① 式 Δ>0, 符合题意 , 所以直线 l 方程为 y=kx , 所以直线 l 过定点 (0,0). 考向二　圆锥曲线中的定值问题 【例 2 】 (2019 · 深圳一模 ) 如图 , 已知双曲线 C: y 2 =1(a>0) 的右焦点为 F. 点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上 ,AF⊥x 轴 , AB⊥OB ① ， BF∥OA ② (O 为坐标原点 ). (1) 求双曲线 C 的方程 . (2) 过 C 上一点 P(x 0 ,y 0 )(y 0 ≠0) 的直线 l : -y 0 y=1 与 直线 AF 相交于点 M, 与直线 x= 相交于点 N. 证明 : 当点 P 在 C 上移动时 , 恒为定值 ③ ，并求此定值 . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到两直线斜率互为负倒数 ② 想到两直线斜率相等 ③ 整理化简消参数 【解析 】 (1) 设 F(c,0), 因为 b=1, 所以 c= 直线 OB 的方程为 y=- x, 直线 BF 的方程为 y= (x-c ), 解得 又直线 OA 的方程为 y= x, 则 A k AB = 又因为 AB⊥OB, 所以 =-1, 解得 a 2 =3, 故双曲线 C 的方程为 -y 2 =1. (2) 由 (1) 知 a= , 则直线 l 的方程为 -y 0 y=1(y 0 ≠0), 即 y= 因为直线 AF 的方程为 x=2, 所以直线 l 与 AF 的交点为 M 直线 l 与直线 x= 的交点为 N 则 因为 P(x 0 ,y 0 ) 是 C 上一点 , 则 =1, 代入上式得 故所求定值为 【拓展提升 】 求定值问题常见的方法 (1) 从特殊值入手 , 求出定值 , 再证明这个值与变量无关 . (2) 直接推理、计算 , 并在计算推理的过程中消去变量 , 从而得到定值 . 【变式训练 】 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的离心率为 , 短轴端点到焦点的距离为 2. (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 设 A,B 为椭圆 C 上任意两点 ,O 为坐标原点 , 且 OA⊥OB. 求证 : 原点 O 到直线 AB 的距离为定值 , 并求出该定值 . 【解析 】 (1) 由题意知 , 又 a 2 =b 2 +c 2 , 所以 a=2,c= ,b=1, 所以椭圆 C 的方程为 +y 2 =1. (2)① 当直线 AB 的斜率不存在时 , 直线 AB 的方程为 x=± , 此时 , 原点 O 到直线 AB 的距离为 . ② 当直线 AB 的斜率存在时 , 设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ). 由 得 (1+4k 2 )x 2 +8kmx+4m 2 -4=0. 则 Δ=(8km) 2 -4(1+4k 2 )(4m 2 -4)=16(1+4k 2 -m 2 )>0, x 1 +x 2 =- ,x 1 x 2 = 则 y 1 y 2 =(kx 1 +m)(kx 2 +m)= 由 OA⊥OB 得 k OA · k OB =-1, 即 =-1, 所以 x 1 x 2 +y 1 y 2 = 即 m 2 = (1+k 2 ), 所以原点 O 到直线 AB 的距离为 综上 , 原点 O 到直线 AB 的距离为定值 .