2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题5 解析几何2-5-解答题 4 44页

第 4 课时　 存在性与探索性问题 考向一　探究是否存在常数的问题 【例 1 】 (2019 · 九江一模 ) 椭圆 E: =1(a>b>0) 的 离心率是 , 点 P(0,1) 在 短轴 CD 上 ① ， 且 =-1 ② . (1) 求椭圆 E 的标准方程 . (2) 设 O 为坐标原点 , 过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点 . 是否存在常数 λ, 使得 为定值 ③ ？若 存在 , 求 λ 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① C 点坐标为 (0,-b),D 点坐标为 (0,b) ② 通过向量的数量积公式建立方程 ③ 想到结合根与系数的关系分析求解 【解析 】 (1) 由已知 , 点 C,D 的坐标分别为 (0,-b),(0,b). 又点 P 的坐标为 (0,1), 且 =-1, 于是 解得 a=2,b= . 所以椭圆 E 的方程为 (2)① 当直线 AB 的斜率存在时 , 设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ). 联立 得 (2k 2 +1)x 2 +4kx-2=0. 其判别式 Δ=(4k) 2 +8(2k 2 +1)>0, 所以 x 1 +x 2 =- ,x 1 x 2 =- . 从而 , =x 1 x 2 +y 1 y 2 +λ[x 1 x 2 +(y 1 -1)(y 2 -1)] =(1+λ)(1+k 2 )x 1 x 2 +k(x 1 +x 2 )+1 所以 , 当 λ=1 时 , 此时 , =-3 为定值 . ② 当直线 AB 斜率不存在时 , 直线 AB 即为直线 CD. 此时 , 当 λ=1 时 , =-3, 为定值 . 综上 , 存在常数 λ=1, 使得 为定值 -3. 【拓展提升 】 　　解决是否存在常数的问题时 , 应首先假设存在 , 看是否能求出符合条件的参数值 , 如果推出矛盾就不存在 , 否则就存在 . 【变式训练 】 椭圆 C: 　　 =1(a>b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e= , 直线 l 的方程为 x=4. (1) 求椭圆 C 的方程 . (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦 ( 不经过点 P), 设直线 AB 与直线 l 相交于点 M, 记 PA,PB,PM 的斜率分别为 k 1 ,k 2 ,k 3 . 问 : 是否存在常数 λ, 使得 k 1 +k 2 =λk 3 ? 若存在 , 求 λ 的值 ; 若不存在 , 说明理由 . 【解析 】 (1) 由 P 在椭圆上得 : =1.① 依题设知 a=2c, 则 b 2 =3c 2 .② ② 代入 ① 解得 c 2 =1,a 2 =4,b 2 =3. 故椭圆 C 的方程为 (2) 由题意可设直线 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1).③ 代入椭圆方程并整理 , 得 (4k 2 +3)x 2 -8k 2 x+4(k 2 -3)=0. 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则有 x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = .④ 在方程 ③ 中令 x=4 得 ,M 的坐标为 (4,3k). 从而 k 1 = 由于 A,F,B 三点共线 , 则有 k=k AF =k BF , 即有 所以 k 1 +k 2 = ④ 代入 ⑤ 得 k 1 +k 2 =2k- =2k-1, 又 k 3 =k- , 所以 k 1 +k 2 =2k 3 . 故存在常数 λ=2 符合题意 . 考向二　探究是否存在点的问题 【例 2 】 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的右焦点为 F(1,0), 右顶点为 A, 且 |AF|=1 ① . (1) 求椭圆 C 的标准方程 . (2) 若动直线 l :y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P, 且 与直线 x=4 交于点 Q, 问 : 是否存在一个定点 M(t,0), 使 得 =0 ② ? 若存在 , 求出点 M 的坐标 ; 若不存在 , 说 明理由 . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① |AF|=a-c=1 ② 利用数量积公式建立方程 , 由恒等式的性质求解 【解析 】 (1) 由 c=1,a-c=1, 得 a=2, 所以 b= , 故椭圆 C 的标准方程为 (2) 由 消去 y 得 (3+4k 2 )x 2 +8kmx+4m 2 -12=0, 所以 Δ=64k 2 m 2 -4(3+4k 2 )(4m 2 -12)=0, 即 m 2 =3+4k 2 . 设 P(x 0 ,y 0 ), 则 x 0 = y 0 =kx 0 +m= 因为 M(t,0),Q(4,4k+m), 所以 所以 · (4-t)+ · (4k+m)=t 2 -4t +3+ (t-1)=0 恒成立 , 故 即 t=1. 所以存在点 M(1,0) 符合题意 . 【拓展提升 】 存在性问题的求解方法 (1) 存在性问题通常采用“肯定顺推法” , 将不确定性问题明朗化 . 其步骤为 : 假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 , 用待定系数法设出 , 列出关于待定系数的方程组 , 若方程组有实数解 , 则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 ; 否则 , 元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . (2) 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 . 【变式训练 】 (2015 · 北京高考 ) 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的离 心率为 , 点 P(0,1) 和点 A(m,n)(m≠0) 都在椭圆 C 上 , 直线 PA 交 x 轴于点 M. (1) 求椭圆 C 的方程 , 并求点 M 的坐标 ( 用 m,n 表示 ). (2) 设 O 为原点 , 点 B 与点 A 关于 x 轴对称 , 直线 PB 交 x 轴于点 N, 问 :y 轴上是否存在点 Q, 使得 ∠OQM=∠ONQ? 若存在 , 求点 Q 的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 . 【解析 】 (1) 椭圆 =1(a>b>0) 过 P(0,1), 所 以 b 2 =1, 离心率 e= 所以椭圆方程为 +y 2 =1. 因为 P(0,1),A(m,n), 所以直线 PA 的方程为 y-1= x, 直线 PA 与 x 轴交于 M, 令 y=0, 则 x M = , 所以 M (2) 因为 P(0,1),B(m,-n), 所以直线 PB 的方程为 y-1= , 直线 PB 与 x 轴交于 N, 令 y=0, 则 x N = , 所以 N 设 Q(0,y 0 ),tan∠OQM= tan∠ONQ = 因为 ∠OQM=∠ONQ, 所以 tan∠OQM=tan∠ONQ , 所以 所以 所以 y 0 =± . 因此 , 存在点 Q(0,± ), 使 ∠ OQM=∠ONQ. 考向三　探究是否存在直线的问题 【例 3 】 (2019 · 淮北二模 ) 已知椭圆 C: =1 (a>b>0) 的右焦点为 F 2 (2,0), 点 在椭圆 C 上 ① ． (1) 求椭圆 C 的标准方程 . (2) 是否存在斜率为 -1 的直线 l ② 与椭圆 C 相交于 M,N 两点 , 使得 |F 1 M|=|F 1 N|(F 1 为椭圆的左焦点 )? 若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 说明理由 . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到点的坐标适合方程或满足椭圆的定义 ② 想到直线的斜截式方程 【解析 】 (1) 方法一 : 因为椭圆 C 的右焦点为 F 2 (2,0), 所以 c=2, 椭圆 C 的左焦点为 F 1 (-2,0). 由椭圆的定义可得 2a= 解得 a= , 所以 b 2 =a 2 -c 2 =6-4=2. 所以椭圆 C 的标准方程为 =1. 方法二 : 因为椭圆 C 的右焦点为 F 2 (2,0), 所以 c=2, 故 a 2 -b 2 =4, 又点 P 在椭圆 C 上 , 则 =1, 故 化简得 3b 4 +4b 2 -20=0, 得 b 2 =2,a 2 =6. 所以椭圆 C 的标准方程为 =1. (2) 假设存在满足条件的直线 l , 设直线 l 的方程为 y=-x+t , 由 得 x 2 +3(-x+t) 2 -6=0, 即 4x 2 -6tx+(3t 2 -6)=0, Δ=(-6t) 2 -4×4×(3t 2 -6)=96-12t 2 >0, 解得 -2 b>0), 且可知其左焦点为 F′(-2,0). 从而 解得 又 a 2 =b 2 +c 2 , 所以 b 2 =12. 故椭圆 C 的方程为 =1. (2) 假设存在符合题意的直线 l , 设其方程为 y= x+t . 由 得 3x 2 +3tx+t 2 -12=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点 , 所以 Δ=(3t) 2 -4×3(t 2 -12)=144-3t 2 ≥0, 解得 -4 ≤ t≤4 . 另一方面 , 由直线 OA 与 l 的距离等于 4, 可得 =4, 从 而 t=±2 . 由于 ±2 ∉[-4 ,4 ], 所以符合题意的直线 l 不存在 .