【数学】2018届一轮复习北师大版第一讲空间几何体教案 9页

专题四 立体几何 第一讲 空间几何体 ‎[考情分析]‎ 立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局．多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅰ卷 三棱锥与球的结合体问题·T16‎ Ⅱ卷 三视图与体积求法·T6‎ 长方体与球的结合体问题·T15‎ Ⅲ卷 圆柱与球的结合体问题·T9‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 有关球的三视图及表面积·T7‎ Ⅱ卷 正方体及其外接球的空间关系，及外接球的表面积·T4‎ 空间几何体三视图及组合体的表面积·T7‎ Ⅲ卷 空间几何体三视图及表面积的计算·T10‎ 直三棱柱的体积最值问题·T11‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 锥体体积的计算·T6‎ 空间几何体的三视图及表面积的计算·T11‎ Ⅱ卷 空间几何体的三视图及相关体积的计算·T6‎ 三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征·T10‎ ‎[真题自检]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A．90π B．63π C．42π D．36π 解析：依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为3、高为10的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为3、高为10＋4＝14的圆柱，因此该几何体的体积等于×(π×32)×14＝63π，选B.‎ 答案：B ‎2．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.‎ 答案：C ‎3．(2016·高考全国卷Ⅲ)如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81‎ 答案：B ‎4．(2016·高考全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B‎1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B. C．6π D. 解析：设球半径为R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，‎ 有(6＋8＋10)×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝×π×3＝.‎ 答案：B 空间几何体与三视图 ‎[方法结论]‎ 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．‎ ‎[题组突破]‎ ‎1．(2017·吉林实验中学模拟)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析：侧视图从图形的左面向右面看，看到一个矩形，在矩形上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C.‎ 答案：C ‎2．(2017·安徽六校素质测试) 如图， 格纸上每个小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面中互相垂直的平面有(　　)‎ A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 解析：由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，因为AB⊥平面BCD，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，所以平面ABE⊥平面BCD，平面AEB⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，平面AEDC⊥平面ABC，‎ 故选B.‎ 答案：B ‎[误区警示]‎ 要熟悉各种基本几何体的三视图．同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．‎ 空间几何体的表面积与体积 ‎[方法结论]‎ 求解几何体的表面积或体积 ‎(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．‎ ‎(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．‎ ‎(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．‎ ‎[题组突破]‎ ‎1．(2017·长沙模拟)如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．3π B．4π C．5π D．12π 解析：由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为2π＋π＝3π.选A.‎ 答案：A ‎2．(2017·贵阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积是(　　)‎ A. B．1‎ C．2 D. 解析：依题意得，题中的几何体是一个倒立的正六棱锥，其中底面是边长为1的正六边形，‎ 高为2×＝，因此题中的几何体体积等于×(6××12)×＝，选D.‎ 答案：D ‎3．(2017·洛阳模拟)已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为(　　)‎ A.π B．14π C.π－8 D.π－4‎ 解析：依题意知，该简单组合体是从一个圆锥(底面半径为2、高为4)中截去一个正四棱柱(底面正方形边长为、高为2)后剩余的部分，因此该简单组合体的体积为π×22×4－()2×2＝－4，选D.‎ 答案：D ‎[误区警示]‎ ‎1．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面；‎ ‎2．在求几何体的表面积和体积时，注意等价转化思想的运用，如用“割补法”把不规则几何体转化为规则几何体、立体几何问题转化为平面几何问题等．‎ 空间几何体与球的切、接问题 ‎[方法结论]‎ ‎1．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．‎ ‎2．记住几个常用的结论：‎ ‎(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.‎ ‎①正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ ‎(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ ‎[典例](1)已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝.若球O的表面积为4π，则SA＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D. 解析：根据已知把SABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1,2R＝＝2，解得SA＝1，故选B.‎ 答案：B ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A．π B. C. D. 解析：设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－2＝，所以，圆柱的体积V＝π×1＝，故选B.‎ 答案：B ‎(3)(2017·广西三市联考)已知长方体ABCDA1B‎1C1D1内接于球O, 底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________．‎ 解析：取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A，则四边形OO1AE为矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2，∴球O的表面积S＝4π×22＝16π.‎ 答案：16π ‎[类题通法]‎ ‎1．构造法在定几何体外接球球心中的应用 常见的构造条件及构造方法有：‎ ‎(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．‎ ‎2．性质法在定几何体外接球球心中的应用 立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2017·贵阳模拟)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，解得R＝5, 由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥PABC的高的最大值为5＋3＝8，选C.‎ 答案：C ‎2．正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为________．‎ 解析：如图， 设三棱锥ABCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD ‎＝BD＝，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝，又OA＝OD＝r，所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝，所以球O的表面积S＝.‎ 答案： 与球切、接有关的几何体的最值问题 ‎[方法结论]‎ 与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积问题．‎ ‎[典例](2017·洛阳统考)已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝2.若三棱锥DABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．‎ 解析：由题意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圆半径r＝，当三棱锥的体积最大时，VDABC＝S△ABC·h ‎(h为D到底面ABC的距离)，即3＝×××h⇒h＝3，即R＋＝3(R为外接球半径)，解得 R＝2，∴球O的表面积为4π×22＝16π.‎ 答案：16π ‎[类题通法]‎ 求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2016·长春质量监测)正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为________．‎ 解析：由题意，面积最小的截面是以AB为直径的圆，在正四面体ABCD中，如图，设E为△BCD的中心，连接AE，BE，则球心O在AE上，延长AE交球面于F，则AF是球的直径，∠ABF＝90°，又AE⊥BE，所以在△ABF中，由射影定理得AB2＝AE·AF＝4AE，又AE＝＝AB，所以AB＝，故截面面积的最小值为π2＝.‎ 答案： ‎2．(2017·贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱与底面垂直)的体积为‎3 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，求球O的表面积的最小值．‎ 解析：球O的表面积最小⇔球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V＝a2b＝3， 所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圆的半径r＝a，则R2＝r2＋2＝＋＝×＋＝＋，令f(b)＝＋，0＜b＜2R，则f′(b)＝，令f′(b)＝0，解得b＝2 ，当0＜b＜2时，f′(b)＜0，函数f(b)单调递减，当b＞2时，f′(b)＞0，函数f(b)单调递增，所以当b＝2时，f(b)取得最小值3, 即(R2)min＝3，故球O的表面积的最小值为12π.‎