高中数学人教a版选修1-2学业分层测评11复数代数形式的乘除运算word版含解析 5页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知复数 z＝2－i，则 z· z 的值为( ) A．5 B. 5 C．3 D. 3 【解析】 z· z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选 A. 【答案】 A 2．i 是虚数单位，复数 7＋i 3＋4i ＝( ) A．1－i B．－1＋i C.17 25 ＋31 25i D．－17 7 ＋25 7 i 【解析】 7＋i 3＋4i ＝ 7＋i3－4i 3＋4i3－4i ＝25－25i 25 ＝1－i，故选 A. 【答案】 A 3．z1，z2 是复数，且 z21＋z22<0，则正确的是( ) A．z21<－z22 B．z1，z2 中至少有一个是虚数 C．z1，z2 中至少有一个是实数 D．z1，z2 都不是实数 【解析】 取 z1＝1，z2＝2i 满足 z21＋z22<0，从而排除 A 和 D；取 z1＝i，z2 ＝2i，满足 z21＋z22<0，排除 C，从而选 B. 【答案】 B 4．若 z＋ z ＝6，z· z ＝10，则 z＝( ) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 【解析】 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi， ∴{2a＝6， a2＋b2＝10， 解得 a＝3，b＝±1，则 z＝3±i. 【答案】 B 5．已知复数 z＝ 3＋i 1－ 3i2 ， z 是 z 的共轭复数，则 z· z ＝( ) 【导学号：19220050】 A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 【解析】 法一：z＝ 3＋i 1－ 3i2 ＝ 3＋i 1－3－2 3i ＝ 3＋i －21＋ 3i ＝ 3＋i1－ 3i －2×4 ＝－ 3 4 ＋1 4i，∴ z ＝－ 3 4 －1 4i. ∴z· z ＝ － 3 4 ＋1 4i － 3 4 －1 4i ＝ 3 16 ＋ 1 16 ＝1 4. 法二：∵z＝ 3＋i 1－ 3i2 ∴|z|＝ | 3＋i| |1－ 3i|2 ＝2 4 ＝1 2. ∴z· z ＝|z|2＝1 4. 【答案】 A 二、填空题 6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则 x＝________. 【解析】 由题意，得 x＋i＝－1＋2i i ＝－i＋2i2 i2 ＝－i－2 －1 ＝2＋i， 所以 x＝2. 【答案】 2 7．(2016·天津高二检测)复数 5 2－i 的共轭复数是________． 【解析】 5 2－i ＝ 52＋i 2－i2＋i ＝52＋i 5 ＝2＋i，其共轭复数为 2－i. 【答案】 2－i 8．复数 2－2ai a＋2i 的模为 2，则实数 a 的值是________． 【解析】 | 2－2ai a＋2i |＝| 2－2ai| |a＋2i| ＝  22＋－2a2 a2＋22 ＝ 2，解得 a＝± 3. 【答案】 ± 3 三、解答题 9．(2016·唐山高二检测)若 z 满足 z－1＝ 3(1＋z)i，求 z＋z2 的值. 【导学号：19220051】 【解】 ∵z－1＝ 3(1＋z)i， ∴z＝1＋ 3i 1－ 3i ＝ 1＋ 3i2 1－ 3i1＋ 3i ＝－1 2 ＋ 3 2 i， ∴z＋z2＝－1 2 ＋ 3 2 i＋ －1 2 ＋ 3 2 i 2＝－1 2 ＋ 3 2 i＋ －1 2 － 3 2 i ＝－1. 10．(2016·天津高二检测)已知复数 z 满足 z＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数 z 的共轭复数； (2)若 w＝z＋ai，且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，求 实数 a 的取值范围． 【解】 (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i， 所以复数 z 的共轭复数为－2－4i. (2)w＝－2＋(4＋a)i，复数 w 对应的向量为(－2,4＋a)，其模为 4＋4＋a2＝ 20＋8a＋a2. 又复数 z 所对应向量为(－2,4)，其模为 2 5.由复数 w 对应向量的模不大于 复数 z 所对应向量的模，得 20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0， 所以，实数 a 的取值范围是－8≤a≤0. [能力提升] 1．若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝( ) A．1 B．2 C. 2 D. 3 【解析】 ∵z(1＋i)＝2i，∴z＝ 2i 1＋i ＝2i1－i 2 ＝1＋i， ∴|z|＝ 12＋12＝ 2. 【答案】 C 2．设 z 的共轭复数为 z ，z＝1＋i，z1＝z· z ，则 1 z ＋ 1 iz1 等于( ) A.1 2 ＋i B.1 2 －i C.1 2 D.3 2 【解析】 由题意得 z ＝1－i，∴z1＝z· z ＝(1＋i)(1－i)＝2. ∴ 1 z ＋ 1 iz1 ＝ 1 1－i ＋1 2i ＝1＋i 2 －i 2 ＝1 2. 【答案】 C 3．对任意复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ________． ①|z－ z |＝2y； ②z2＝x2＋y2； ③|z－ z |≥2x； ④|z|≤|x|＋|y|. 【解析】 对于①， z ＝x－yi(x，y∈R)， |z－ z |＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|， 故不正确； 对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确； 对于③，|z－ z |＝|2y|≥2x 不一定成立，故不正确； 对于④，|z|＝ x2＋y2≤|x|＋|y|，故正确． 【答案】 ④ 4．复数 z＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若 z2＋a z<0，求纯虚数 a. 【解】 由 z2＋a z<0 可知 z2＋a z 是实数且为负数． z＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设 a＝mi(m≠0)，则 z2＋a z ＝(1－i)2＋ mi 1－i ＝－2i＋mi－m 2 ＝－m 2 ＋ m 2 －2 i<0， ∴ －m 2<0， m 2 －2＝0， ∴m＝4，∴a＝4i.