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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修2-2(课时训练):2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法

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2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题. [知识链接] 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理? 答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理,因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的 逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想” 2.必修五中基本不等式a+b 2 ≥ ab(a>0,b>0)是怎样证明的? 答 要证a+b 2 ≥ ab, 只需证 a+b≥2 ab, 只需证 a+b-2 ab≥0, 只需证( a- b)2≥0, 因为( a- b)2≥0 显然成立,所以原不等式成立. [预习导引] 1.综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 2.分析法 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点一 综合法的应用 例 1 在△ABC 中,三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列, a、b、c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形. 证明 由 A、B、C 成等差数列,有 2B=A+C. ① 因为 A、B、C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π. ② 由①②,得 B=π 3. ③ 由 a、b、c 成等比数列,有 b2=ac.④ 由余弦定理及③, 可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac. 再由④,得 a2+c2-ac=ac, 即(a-c)2=0,因此 a=c, 从而有 A=C.⑤ 由②③⑤,得 A=B=C=π 3.所以△ABC 为等边三角形. 规律方法 利用综合法证明问题的步骤: (1)分析条件选择方向:仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联 系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、 图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路. (3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行 适当的修饰,反思总结解题方法的选取. 跟踪演练 1 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:1 a +1 b ≥4. 证明 法一 ∵a,b 是正数且 a+b=1, ∴a+b≥2 ab,∴ ab≤1 2 ,∴1 a +1 b =a+b ab = 1 ab ≥4. 法二 ∵a,b 是正数,∴a+b≥2 ab>0, 1 a +1 b ≥2 1 ab>0, ∴(a+b) 1 a +1 b ≥4. 又 a+b=1,∴1 a +1 b ≥4. 法三 1 a +1 b =a+b a +a+b b =1+b a +a b +1≥2+2 b a·a b =4.当且仅当 a=b 时,取“=”号. 要点二 分析法的应用 例 2 设 a,b 为实数,求证: a2+b2≥ 2 2 (a+b). 证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, ∴ a2+b2≥ 2 2 (a+b)成立. 当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 要证 a2+b2≥ 2 2 (a+b), 只需证( a2+b2)2≥ 2 2 a+b 2, 即证 a2+b2≥1 2(a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, ∴ a2+b2≥ 2 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证. 规律方法 用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理 论; (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得 到的充分条件是已知(或已证)的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明” 等词语. 跟踪演练 2 已知 a,b 是正实数,求证: a b + b a ≥ a+ b. 证明 要证 a b + b a ≥ a+ b, 只要证 a a+b b≥ ab·( a+ b). 即证(a+b- ab)( a+ b)≥ ab( a+ b), 因为 a,b 是正实数, 即证 a+b- ab≥ ab, 也就是要证 a+b≥2 ab, 即( a- b)2≥0. 该式显然成立,所以 a b + b a ≥ a+ b. 要点三 综合法和分析法的综合应用 例 3 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0abc. 由公式a+b 2 ≥ ab>0,b+c 2 ≥ bc>0,a+c 2 ≥ ac>0, 又∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴a+b 2 ·b+c 2 ·a+c 2 > a2b2c2=abc. 即a+b 2 ·b+c 2 ·a+c 2 >abc 成立. ∴logx a+b 2 +logx b+c 2 +logx a+c 2 x>0,且 x+y=1,那么( ) A.xx>0,且 x+y=1,∴设 y=3 4 ,x=1 4 , 则x+y 2 =1 2 ,2xy=3 8 ,∴x<2xyb>0 时,才有 a2>b2, ∴只需证: 2+ 7< 6+ 3, 只需证:( 2+ 7)2<( 3+ 6)2. 3.求证: 1 log519 + 2 log319 + 3 log219<2. 证明 因为 1 logba =logab,所以左边 =log195+2log193+3log192 =log195+log1932+log1923=log19(5×32×23)=log19360. 因为 log19360b,则 ac2>bc2 B.若a c>b c ,则 a>b C.若 a3>b3 且 ab<0,则1 a>1 b D.若 a2>b2 且 ab>0,则1 a<1 b 答案 C 解析 对于 A:若 c=0,则 A 不成立,故 A 错;对于 B:若 c<0,则 B 不成立,B 错;对 于 C:若 a3>b3 且 ab<0,则 a>0 b<0 ,所以1 a>1 b ,故 C 对;对于 D:若 a<0 b<0 ,则 D 不成立. 2.A、B 为△ABC 的内角,A>B 是 sin A>sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案 C 解析 由正弦定理 a sin A = b sin B ,又 A、B 为三角形的内角,∴sin A>0,sin B>0,∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B. 3.已知直线 l,m,平面α,β,且 l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则 l⊥m;④若 l∥m,则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 若 l⊥α,m⊂β,α∥β,则 l⊥β,所以 l⊥m,①正确; 若 l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确; 若 l⊥α,m⊂β,α⊥β,l 与 m 可能平行或异面,③不正确; 若 l⊥α,m⊂β,l∥m,则 m⊥α,所以α⊥β,④正确. 4.设 a,b∈R+,且 a≠b,a+b=2,则必有( ) A.1≤ab≤a2+b2 2 B.ab<1ab. 又因为 a+b=2>2 ab, 故 ab<1,a2+b2 2 =a+b2-2ab 2 =2-ab>1,即a2+b2 2 >1>ab. 5.要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有很多,最合理的应为________. 答案 分析法 6.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a,b,c 的大小关系为________. 答案 a>c>b 解析 ∵a2-c2=2-(8-4 3)=4 3-6= 48- 36>0,∴a>c.∵c b = 6- 2 7- 3 = 7+ 3 6+ 2 >1, ∴c>b. 7.设 a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明 法一 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b). 因为 a≥b>0,所以 a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 所以 3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 法二 要证 3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证 3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0, 只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0.∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0, ∴上式成立. 二、能力提升 8.设 0 2x=a,∴a0 B.ab<0 C.a>0,b<0 D.a>0,b>0 答案 C 解析 ∵a b 与b a 同号,由a b +b a ≤-2,知a b<0,b a<0, 即 ab<0.又若 ab<0,则a b<0,b a<0. ∴a b +b a =- -a b + -b a ≤ -2 -a b · -b a =-2, 综上,ab<0 是a b +b a ≤-2 成立的充要条件, ∴a>0,b<0 是a b +b a ≤-2 成立的一个充分而不必要条件. 10. 如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件________时, 有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形). 答案 对角线互相垂直 解析 本题答案不唯一,要证 A1C⊥B1D1,只需证 B1D1 垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1,因 为该四棱柱为直四棱柱,所以 B1D1⊥CC1,故只需证 B1D1⊥A1C1 即可. 11.已知 a>0,b>0,1 b -1 a >1.求证: 1+a> 1 1-b . 证明 要证 1+a> 1 1-b 成立, 只需证 1+a> 1 1-b , 只需证(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即 1-b+a-ab>1, ∴a-b>ab,只需证:a-b ab >1,即1 b -1 a >1. 由已知 a>0,1 b -1 a >1 成立, ∴ 1+a> 1 1-b 成立. 12.求证抛物线 y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与 x=-p 2 相切. 证明 如图,作 AA′、BB′垂直准线,取 AB 的中点 M,作 MM′垂直准线.要证明以 AB 为直 径的圆与准线相切,只需证|MM′|=1 2|AB|, 由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|, 所以|AB|=|AA′|+|BB′|, 因此只需证|MM′|=1 2(|AA′|+|BB′|) 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x=-p 2 相切. 三、探究与创新 13.(2013·广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,2Sn n =an+1-1 3n2-n-2 3 ,n∈N*. (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an <7 4. (1)解 当 n=1 时,2S1 1 =2a1=a2-1 3 -1-2 3 =2,解得 a2=4. (2)解 2Sn=nan+1-1 3n3-n2-2 3n ① 当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an-1 3(n-1)3-(n-1)2-2 3(n-1) ② ①-②得 2an=nan+1-(n-1)an-n2-n 整理得 nan+1=(n+1)an+n(n+1),即 an+1 n+1 =an n +1,an+1 n+1 -an n =1,当 n=1 时,a2 2 -a1 1 =2-1 =1. 所以数列 an n 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 所以an n =n,即 an=n2. 所以数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*. (3)证明 因为 1 an = 1 n2 < 1 n-1n = 1 n-1 -1 n(n≥2), 所以 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an = 1 12 + 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 <1+1 4 + 1 2 -1 3 + 1 3 -1 4 +…+ 1 n-1 -1 n =1+1 4 +1 2 -1 n =7 4 -1 n <7 4.