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- 2021-06-16 发布
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
[学习目标]
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.
[知识链接]
1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理,因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的
逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”
2.必修五中基本不等式a+b
2
≥ ab(a>0,b>0)是怎样证明的?
答 要证a+b
2
≥ ab,
只需证 a+b≥2 ab,
只需证 a+b-2 ab≥0,
只需证( a- b)2≥0,
因为( a- b)2≥0 显然成立,所以原不等式成立.
[预习导引]
1.综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导
出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
2.分析法
分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论
归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点一 综合法的应用
例 1 在△ABC 中,三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,
a、b、c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.
证明 由 A、B、C 成等差数列,有 2B=A+C. ①
因为 A、B、C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π. ②
由①②,得 B=π
3. ③
由 a、b、c 成等比数列,有 b2=ac.④
由余弦定理及③,
可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac.
再由④,得 a2+c2-ac=ac,
即(a-c)2=0,因此 a=c,
从而有 A=C.⑤
由②③⑤,得 A=B=C=π
3.所以△ABC 为等边三角形.
规律方法 利用综合法证明问题的步骤:
(1)分析条件选择方向:仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联
系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、
图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.
(3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行
适当的修饰,反思总结解题方法的选取.
跟踪演练 1 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:1
a
+1
b
≥4.
证明 法一 ∵a,b 是正数且 a+b=1,
∴a+b≥2 ab,∴ ab≤1
2
,∴1
a
+1
b
=a+b
ab
= 1
ab
≥4.
法二 ∵a,b 是正数,∴a+b≥2 ab>0,
1
a
+1
b
≥2 1
ab>0,
∴(a+b)
1
a
+1
b ≥4.
又 a+b=1,∴1
a
+1
b
≥4.
法三 1
a
+1
b
=a+b
a
+a+b
b
=1+b
a
+a
b
+1≥2+2 b
a·a
b
=4.当且仅当 a=b 时,取“=”号.
要点二 分析法的应用
例 2 设 a,b 为实数,求证: a2+b2≥ 2
2 (a+b).
证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0,
∴ a2+b2≥ 2
2 (a+b)成立.
当 a+b>0 时,用分析法证明如下:
要证 a2+b2≥ 2
2 (a+b),
只需证( a2+b2)2≥
2
2
a+b 2,
即证 a2+b2≥1
2(a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab.
∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,
∴ a2+b2≥ 2
2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证.
规律方法 用分析法证明不等式时应注意
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理
论;
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得
到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”
等词语.
跟踪演练 2 已知 a,b 是正实数,求证: a
b
+ b
a
≥ a+ b.
证明 要证 a
b
+ b
a
≥ a+ b,
只要证 a a+b b≥ ab·( a+ b).
即证(a+b- ab)( a+ b)≥ ab( a+ b),
因为 a,b 是正实数,
即证 a+b- ab≥ ab,
也就是要证 a+b≥2 ab,
即( a- b)2≥0.
该式显然成立,所以 a
b
+ b
a
≥ a+ b.
要点三 综合法和分析法的综合应用
例 3 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0abc.
由公式a+b
2
≥ ab>0,b+c
2
≥ bc>0,a+c
2
≥ ac>0,
又∵a,b,c 是不全相等的正数,
∴a+b
2
·b+c
2
·a+c
2
> a2b2c2=abc.
即a+b
2
·b+c
2
·a+c
2
>abc 成立.
∴logx
a+b
2
+logx
b+c
2
+logx
a+c
2
x>0,且 x+y=1,那么( )
A.xx>0,且 x+y=1,∴设 y=3
4
,x=1
4
,
则x+y
2
=1
2
,2xy=3
8
,∴x<2xyb>0 时,才有 a2>b2,
∴只需证: 2+ 7< 6+ 3,
只需证:( 2+ 7)2<( 3+ 6)2.
3.求证: 1
log519
+ 2
log319
+ 3
log219<2.
证明 因为 1
logba
=logab,所以左边
=log195+2log193+3log192
=log195+log1932+log1923=log19(5×32×23)=log19360.
因为 log19360b,则 ac2>bc2
B.若a
c>b
c
,则 a>b
C.若 a3>b3 且 ab<0,则1
a>1
b
D.若 a2>b2 且 ab>0,则1
a<1
b
答案 C
解析 对于 A:若 c=0,则 A 不成立,故 A 错;对于 B:若 c<0,则 B 不成立,B 错;对
于 C:若 a3>b3 且 ab<0,则 a>0
b<0
,所以1
a>1
b
,故 C 对;对于 D:若 a<0
b<0
,则 D 不成立.
2.A、B 为△ABC 的内角,A>B 是 sin A>sin B 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.即不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理 a
sin A
= b
sin B
,又 A、B 为三角形的内角,∴sin A>0,sin B>0,∴sin A>sin
B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.
3.已知直线 l,m,平面α,β,且 l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则 l⊥m;
②若 l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则 l⊥m;④若 l∥m,则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 若 l⊥α,m⊂β,α∥β,则 l⊥β,所以 l⊥m,①正确;
若 l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;
若 l⊥α,m⊂β,α⊥β,l 与 m 可能平行或异面,③不正确;
若 l⊥α,m⊂β,l∥m,则 m⊥α,所以α⊥β,④正确.
4.设 a,b∈R+,且 a≠b,a+b=2,则必有( )
A.1≤ab≤a2+b2
2
B.ab<1ab.
又因为 a+b=2>2 ab,
故 ab<1,a2+b2
2
=a+b2-2ab
2
=2-ab>1,即a2+b2
2
>1>ab.
5.要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有很多,最合理的应为________.
答案 分析法
6.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a,b,c 的大小关系为________.
答案 a>c>b
解析 ∵a2-c2=2-(8-4 3)=4 3-6= 48- 36>0,∴a>c.∵c
b
= 6- 2
7- 3
= 7+ 3
6+ 2
>1,
∴c>b.
7.设 a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
证明 法一 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).
因为 a≥b>0,所以 a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,
所以 3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
法二 要证 3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证 3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,
只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0.∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,
∴上式成立.
二、能力提升
8.设 0 2x=a,∴a0 B.ab<0
C.a>0,b<0 D.a>0,b>0
答案 C
解析 ∵a
b
与b
a
同号,由a
b
+b
a
≤-2,知a
b<0,b
a<0,
即 ab<0.又若 ab<0,则a
b<0,b
a<0.
∴a
b
+b
a
=- -a
b + -b
a ≤
-2
-a
b ·
-b
a =-2,
综上,ab<0 是a
b
+b
a
≤-2 成立的充要条件,
∴a>0,b<0 是a
b
+b
a
≤-2 成立的一个充分而不必要条件.
10.
如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件________时,
有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).
答案 对角线互相垂直
解析 本题答案不唯一,要证 A1C⊥B1D1,只需证 B1D1 垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1,因
为该四棱柱为直四棱柱,所以 B1D1⊥CC1,故只需证 B1D1⊥A1C1 即可.
11.已知 a>0,b>0,1
b
-1
a
>1.求证: 1+a> 1
1-b
.
证明 要证 1+a> 1
1-b
成立,
只需证 1+a> 1
1-b
,
只需证(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即 1-b+a-ab>1,
∴a-b>ab,只需证:a-b
ab
>1,即1
b
-1
a
>1.
由已知 a>0,1
b
-1
a
>1 成立,
∴ 1+a> 1
1-b
成立.
12.求证抛物线 y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与 x=-p
2
相切.
证明
如图,作 AA′、BB′垂直准线,取 AB 的中点 M,作 MM′垂直准线.要证明以 AB 为直
径的圆与准线相切,只需证|MM′|=1
2|AB|,
由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,
所以|AB|=|AA′|+|BB′|,
因此只需证|MM′|=1
2(|AA′|+|BB′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.
所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x=-p
2
相切.
三、探究与创新
13.(2013·广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,2Sn
n
=an+1-1
3n2-n-2
3
,n∈N*.
(1)求 a2 的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数 n,有 1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
an
<7
4.
(1)解 当 n=1 时,2S1
1
=2a1=a2-1
3
-1-2
3
=2,解得 a2=4.
(2)解 2Sn=nan+1-1
3n3-n2-2
3n ①
当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an-1
3(n-1)3-(n-1)2-2
3(n-1) ②
①-②得 2an=nan+1-(n-1)an-n2-n
整理得 nan+1=(n+1)an+n(n+1),即 an+1
n+1
=an
n
+1,an+1
n+1
-an
n
=1,当 n=1 时,a2
2
-a1
1
=2-1
=1.
所以数列
an
n 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.
所以an
n
=n,即 an=n2.
所以数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*.
(3)证明 因为 1
an
= 1
n2
< 1
n-1n
= 1
n-1
-1
n(n≥2),
所以 1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
an
= 1
12
+ 1
22
+ 1
32
+…+ 1
n2
<1+1
4
+
1
2
-1
3 +
1
3
-1
4 +…+
1
n-1
-1
n =1+1
4
+1
2
-1
n
=7
4
-1
n
<7
4.
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