【数学】2020届一轮复习北师大版数系的扩充与复数的引入学案 9页

第四节　数系的扩充与复数的引入 ‎[考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ a＋bi为非纯虚数⇔a≠0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．‎ ‎3．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ ‎1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.‎ ‎2．－b＋ai＝i(a＋bi)．‎ ‎3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．‎ ‎4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi． (　　)‎ ‎(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　)‎ ‎(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． (　　)‎ ‎(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√‎ ‎2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ A．A　　　 B．B C．C D．D B　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]‎ ‎3．(教材改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．0‎ A　[由题意得，解得m＝1，故选A．]‎ ‎4．复数＝(　　)‎ A．i B．1＋i C．－i D．1－i A　[＝＝＝i.]‎ ‎5．(教材改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由题意知解得 则复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D．]‎ 复数的有关概念 ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)‎ A．0　　　　B．　　　　C．1　　　　D． C　[z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.]‎ ‎2．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i B　[＝＝1＋i，‎ 所以复数的共轭复数为1－i，故选B．]‎ ‎3．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．‎ ‎－2　[∵a∈R，＝＝＝－i为实数，‎ ‎∴－＝0，∴a＝－2.]‎ ‎[规律方法]　解决复数概念问题的策略 ‎(1)复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．‎ ‎(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．‎ 复数的运算 ‎►考法1　复数的乘法运算 ‎【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)‎ A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)‎ A．－3 B．－2 C．2 D．3‎ ‎(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎(1)D　(2)A　(3)B　[(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D．‎ ‎(2)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A．‎ ‎(3)因为(2＋ai)(a－2i)＝－4i，‎ 所以4a＋(a2－4)i＝－4i.‎ 所以解得a＝0.故选B．]‎ ‎►考法2　复数的除法运算 ‎【例2】　(1)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________.‎ ‎(2)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．‎ ‎(1)4－i　(2)2　[(1)＝＝＝4－i.‎ ‎(2)z＝＝＝2－i 故z的实部为2.]‎ ‎►考法3　复数的综合运算 ‎【例3】　(1)(2019·太原模拟)设复数z满足＝i，则z的共轭复数为(　　)‎ A．i B．－i C．2i D．－2i ‎(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．＋i D．－i ‎(3)若复数z满足 2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i ‎(1)A　(2)D　(3)B　[(1)由＝i得1－z＝i＋zi.‎ 即(1＋i)z＝1－i，则z＝＝－i，‎ 因此＝i，故选A．‎ ‎(2)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，‎ ‎∴＝＝－i.‎ ‎(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，所以解得 所以z＝1－2i，故选B．]‎ ‎[规律方法]　复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．‎ ‎ (1)(2019·合肥模拟)已知i为虚数单位，则＝(　　)‎ A．5 B．5i C．－－i D．－＋i ‎(2)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．i B．i－1 C．－i－1 D．－i ‎(3)(2019·南昌模拟)设z的共轭复数是，若z＋＝2，z2＝－2i，则z＝(　　)‎ A．－i B．＋i C．1＋i D．1－i ‎(1)A　(2)C　(3)D　[(1)法一：＝＝5，故选A．‎ 法二：＝＝＝5，故选A．‎ ‎(2)由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C．‎ ‎(3)对四个选项逐一验证可知，当z＝1－i时，符合题意，故选D．]‎ 复数的几何意义 ‎【例4】　(1)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1) B．(－∞，－1)‎ C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)＝＝＝＋i，所以的共轭复数为－i，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D．‎ ‎(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，‎ 故解得a＜－1，故选B．]‎ ‎[规律方法]　与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；‎ 第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．‎ ‎ (1)(2019·广州模拟)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i ‎(1)A　(2)C　[(1)因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A．‎ ‎(2)依题意得，复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ A．i(1＋i)2　　　 B．i2(1－i)‎ C．(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ C　[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．‎ B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．‎ C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．‎ D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．‎ 故选C．]‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．‎ 故选C．]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)‎ A．1　　　　B． C．　　　　D．2‎ B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.‎ 又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.‎ ‎∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B．]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i C　[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，‎ ‎∴z＝2－i，故选C．]‎