- 511.00 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
第14讲 定积分与微积分基本定理
[学生用书P56]
1．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．
【解析】 (1)如图，阴影部分的面积即为所求．
由得A(1，1)．
故所求面积为S＝(x－x2)dx＝|＝.
(2)由题意知dx＝a2.
又′＝，则x＝a2.
即a＝a2，所以a＝.
【答案】 (1) (2)
[题点通关]
角度一 根据条件求平面图形面积
1．(2017·唐山市统一考试)过点(－1，0)的直线l与曲线y＝相切，则曲线y＝与l及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
[解析] 因为y＝的导数为y′＝，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为＝
，解得x0＝1，即切线的斜率为，所以直线l的方程为y＝(x＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为dx＋×1×＝＋＝.
[答案]
角度二 利用平面图形的面积求参数
2．曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________．
[解析] 由得或
则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝＝－k3＝，即k3＝8，所以k＝2.
[答案] 2
定积分在物理中的应用[学生用书P58]
[典例引领]
设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位：N)．
【解析】 变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为
W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx
＝＝342(J)．
【答案】 342
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
(2017·聊城模拟)以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v
＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
A [解析] 由v＝40－10t2＝0，
得t2＝4，t＝2.
所以h＝(40－10t2)dt＝
＝80－＝(m)．
[学生用书P59])
——定积分与其他知识的交汇
(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
【解析】 由题意知，阴影部分的面积
S＝(4－x2)dx＝(4x－x3)|＝，
所以所求概率P＝＝＝.
【答案】
(1)本题将求几何概型的概率问题转化为求函数的定积分问题，是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势．
(2)利用定积分的几何意义，考查几何概型也是近几年高考的考查热点．
1.若f(x)＝
则f(2 019)＝( )
A. B.
C. D.
C [解析] f(2 019)＝f(2 019－5×403)＝f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝2－1＋∫0cos 3tdt.
因为∫0cos 3tdt＝sin 3t
＝＝，
所以f(2 019)＝2－1＋＝.
2．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
[解析] 建立
如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5，0)，(5，0)，得抛物线的函数表达式为y＝x2－2，抛物线
与x轴围成的面积S1＝dx＝，梯形面积S2＝＝16.最大流量比为S2∶S1＝1.2.
[答案] 1.2
[学生用书P338(独立成册)]
1．定积分(3x＋ex)dx的值为( )
A．e＋1 B．e
C．e－ D．e＋
D [解析] (3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.
2．(2017·金华十校联考)设f(x)＝
则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
C [解析] 如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
3．与定积分dx相等的是( )
A.sin dx
B.dx
C.
D．以上结论都不对
B [解析] 因为1－cos x＝2sin2，
所以dx＝dx
＝dx.
4．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
D [解析] 原式＝f(x)dx＋f(x)dx，
因为原函数为偶函数，即在y轴两侧的图象对称．
所以对应的面积相等，
即f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.
5．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于( )
A.＋ B.－
C．－＋ D．－－
D [解析] 由题意知W＝－dx
＝－＝－－.
6．若定积分dx＝，则m等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
A [解析] 根据定积分的几何意义知，定积分
dx的值，就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是圆心(－1，0)，半径为1的上半圆，其面积等于，而dx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为的圆，于是得m＝－1.
7．定积分(x2＋sin x)dx＝________．
[解析] (x2＋sin x)dx
＝x2dx＋sin xdx
＝2x2dx＝2·＝.
[答案]
8.(|x|－1)dx＝________．
[解析] (|x|－1)dx＝(x－1)dx＋(－x－1)dx＝＋＝－1.
[答案] －1
9．(2017·河北邯郸收官考试)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx
＝________．
[解析] f′(x)＝3x2＋2xf′(1)，所以f′(1)＝3＋2f′(1)，f′(1)＝－3，即f(x)＝x3－3x2，所以f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.
[答案] －4
10．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
[解析] f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，
所以x＝，x0＝±.
又因为0≤x0≤1，所以x0＝.
[答案]
11．求下列定积分：
(1)dx；
(2)(cos x＋ex)dx.
[解] (1)dx＝xdx－x2dx＋
dx
＝|－|＋ln x|＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx
＝sin x|＋ex|＝1－.
12．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．
[解] 作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得交点(1，1)，(0，0)，
解方程组得交点(3，9)，(0，0)，
因此，所求图形的面积为
S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx
＝2xdx＋(3x－x2)dx
＝x2＋
＝1＋－＝.
微信/支付宝扫码支付下载