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- 2021-06-16 发布
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【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法
例1、【2017课标3,理23】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
【答案】(1) ;
(2)
【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4—5 不等式选讲
已知函数.
(I)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(II)求不等式的解集.
【答案】(I)见解析(II)
【解析】⑴如图所示
【变式探究】已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|.
(1)当a=1时,解不等式f(x)<3;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的值.
【解析】(1)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=
且f(1)=f(-1)=3,
所以f(x)<3的解集为{x|-1<x<1}.学
(2)|2x-a|+|x+1|=|x-|+|x+1|+|x-|≥|1+|+0=|1+|,
当且仅当(x+1)(x-)≤0且x-=0时,取等号.
所以|1+|=1,解得a=-4或0.
【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后,转化为几个不等式组的解,最后求并集得出原不等式的解集.
【变式探究】
已知函数f(x)=2|x+2|-|x-a|(a∈R).
(1)当a=4时,求不等式f(x)≤0的解集;
(2)当a>-2时,若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54,求a的最大值.
【解析】(1)当a=4时,f(x)≤0,即2|x+2|-|x-4|≤0,即2|x+2|≤|x-4|,两边平方得4x2+16x+16≤x2-8x+16,即x2+8x≤0,解得-8≤x≤0,即不等式f(x)≤0的解集为[-8,0].(或者分段去绝对值求解)
【命题热点突破二】不等式的证明
例2、【2017课标II,理23】已知。证明
(1);
(2)。
【答案】(1)证明略;(2)证明略。
【解析】(1)
(2)因为
所以,因此a+b≤2.
【变式探究】【2016高考新课标2理数】
已知函数,为不等式的解集.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明 当时,.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】(I)
当时,由得解得;
当时, ;
当时,由得解得.
所以的解集.
【变式探究】[2015·全国卷Ⅱ] 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)(+)2=a+b+2 ,
(+)2=c+d+2 ,
由题设a+b=c+d,ab>cd,
得(+)2>(+)2,
因此+>+.
【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具,要特别注意柯西不等式的应用.
【变式探究】
(1)已知a,b都是正实数,求证 +≥2 -2.
(2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的取值范围.
【解析】(1)证明 方法一 (代数换元法)设a+2b=x,a+b=y,则a=2y-x,b=x-y,且x,y为正实数.
+=+=+-2≥2 -2,当且仅当x=y时取等号.学
方法二 (配凑法)+=+1++1-2=+-2≥2 -2,当且仅当a+2b=(a+b)时取等号.
(2)由柯西不等式得(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的取值范围是[1,2].
【命题热点突破三】 绝对值不等式与不等式证明的综合
例3 、【2017课标1,理】已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(2)当时, .
所以的解集包含,等价于当时.
又在的学 最小值必为与之一,所以且,得.
所以的取值范围为.
【变式探究】【2016高考新课标2理数】
已知函数,为不等式的解集.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明 当时,.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】(I)
当时,由得解得;
当时, ;
当时,由得解得.
所以的解集.
【变式探究】已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足+=n时,求7a+4b的最小值.
【解析】(1)因为该函数的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立.
设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值,
又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,所以m≤4.
(2)由(1)知n=4,
所以7a+4b==
=≥=,当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=时,等号成立.
所以7a+4b的最小值为.学
【特别提醒】使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时,注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件.
【变式探究】
已知函数f(x)=|x|-2|x-3|.
(1)求不等式f(x)≥-10的解集;
(2)记f(x)的最大值为m,且a,b,c为正实数,求证 当a+b+c=m时,ab+bc+ca≤m≤a2+b2+c2.
【解析】(1)f(x)=|x|-2|x-3|=
当x≤0时,x-6≥-10,∴-4≤x≤0;
当00.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
.
1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3,则实数的值为( )
A.5或8 B.或5 C.或 D.或8
【答案】D
【解析】由题意,①当时,即,,则当时,,解得或(舍);②当时,即,,则当时,,解得(舍)或;③当时,即,,此时,不满足题意,所以或,故选D.
2. 【2014陕西高考理第15题】设,且,则的最小值为
【答案】
【解析】由柯西不等式得 ,所以,得
所以,故答案为。
3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】令,则,
(1)当时,由得,解得,此时有;
(2)当时,,此时不等式无解;
(3)当时,由得,解得,此时有;
综上所述,不等式的解集为.[ 学 ]
4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为,则________.
【答案】-3
5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,当且仅当
时取等号,所以的最小值为,选C.
6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立,则实数
的取值范围是____________.
【答案】
由图可知
由题意得 ,解这得
所以答案应填
7. 【2014高考福建理第21(3)题】已知定义在R上的函数的最小值为.
(I)求的值;
(II)若为正实数,且,求证 .
【答案】(I);(II)参考解析
【解析】(I)因为,当且仅当时,等号成立,所以
的最小值等于3,即.学
(II)由(I)知,又因为是正数,所以
,即.
9. 【2014高考江苏第21题】已知,证明
【答案】证明见解析.
10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵,向量,是实数,若,求的值.
【答案】
【解析】
由题意得,解得.∴.
11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数,,记的解集为M,的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当时,证明 .
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)
当时,由得,故;
当时,由得,故;
所以的解集为.
(2)由得解得,因此,故.
当时,,于是
.
12. 【2014高考全国1第24题】若,且.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在.
13. 【2014高考全国2第24题】设函数=
(Ⅰ)证明 2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.[ 学 ]
【答案】(1)见解析(2)
(2013·新课标I理)(24)(本小题满分10分)选修4—5 不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【答案】
当时,令,,做出函数图像可知,当时,,故原不等式的解集为;学
(2)依题意,原不等式化为,故对都成立,故,故,故的取值范围是.