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  • 2021-06-16 发布

2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用课时作业

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第3讲 圆锥曲线的综合应用 限时60分钟 满分60分 解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分)‎ ‎1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(2,1),且离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设A,B分别是椭圆C的上顶点、右顶点,点P是椭圆C在第一象限内的一点,直线AP,BP分别交x轴,y轴于点M,N,求四边形ABMN面积的最小值.‎ 解析:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.(1)由离心率及c2=a2-b2得a,b的关系,再把已知点代入即可求出标准方程;(2)设出点P的坐标,得到直线AP,BP的方程,从而表示出点M,N的坐标,进而得到|AN|·|BM|,最后利用S四边形ABMN=S△OMN-S△OAB及基本不等式求面积的最小值.‎ ‎(1)由椭圆的离心率为得,=,又c2=a2-b2,∴a=2b.又椭圆C经过点(2,1),∴+=1,解得b2=2,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)可知,A(0,),B(2,0),设P(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<),则直线AP:y=x+,从而M.‎ 直线BP:y=(x-2),从而N.‎ ‎∵+=1,∴|AN|·|BM|=·= ‎==8.‎ ‎∴S四边形ABMN=S△OMN-S△OAB ‎=(|OM|·|ON|-|OA|·|OB|)‎ ‎=(|BM|+2|AN|+8)‎ - 5 -‎ ‎=(|BM|+2|AN|)+4‎ ‎≥4+·2 ‎=4+4(O为坐标原点),‎ 当且仅当|BM|=4,|AN|=2时取得最小值.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,上顶点M到直线x+y+4=0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线l过点(4,-2),且与椭圆C相交于A,B两点,l不经过点M,证明:直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值.‎ 解:本题主要考查椭圆与直线的交汇,考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.‎ ‎(1)由题意可得,,解得,所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)易知直线l的斜率恒小于0,设直线l的方程为y+2=k(x-4),k<0且k≠-1,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立得,得(1+4k2)x2-16k(2k+1)x+64k(k+1)=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 因为kMA+kMB=+=,‎ 所以kMA+kMB=2k-(4k+4)×=2k-4(k+1)×=2k-(2k+1)=-1(为定值).‎ ‎3.(2019·淮南三模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线4x+3y-5=0与以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.‎ ‎①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标;‎ ‎②若O为坐标原点,求·的取值范围.‎ 解析:(1)由题意可得离心率e==,‎ 又直线4x+3y-5=0与圆x2+y2=b2相切,‎ - 5 -‎ 所以b==1,‎ 结合a2-b2=c2,解得a=,‎ 所以椭圆C的标准方程为+x2=1.‎ ‎(2)①设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由题意知A(0,-),又直线AM与AN的斜率之积为1,所以·=1,‎ 即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,‎ 由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,‎ 设直线MN:y=kx+t(k≠0),‎ 代入椭圆方程,消去y可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,‎ 所以x1x2=,x1+x2=-,‎ y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-=,‎ y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2‎ ‎=k2·+kt+t2=,‎ 所以=++3,‎ 化简得t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),‎ 则直线MN的方程为y=kx-2,‎ 即直线MN恒过定点,该定点的坐标为(0,-2).‎ ‎②由①可得·=x1x2+y1y2=+==,‎ 由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.‎ 令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,‎ 所以==-3,‎ 由m>12,可得-3<-3<.‎ 则·的取值范围是.‎ ‎4.(2019·浙江卷)‎ - 5 -‎ 如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ΔABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.‎ ‎(1)求p的值及抛物线的准线方程;‎ ‎(2)求的最小值及此时点G的坐标.‎ 解:(1)由题意得=1,即p=2.‎ 所以,抛物线的准线方程为x=-1.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xc,yc),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.‎ 由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,‎ 故2tyB=-4,即yB=-,所以B.‎ 又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得C,G.‎ 所以,直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).‎ 由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而 = ‎===2-.‎ 令m=t2-2,则m>0,‎ - 5 -‎ =2-=2-≥2-=1+.‎ 当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).‎ ‎5.(2019·北京卷)已知拋物线C:x2=-2py经过点(2,-1).‎ ‎(1)求拋物线C的方程及其准线方程;‎ ‎(2)设O为原点,过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.‎ 解析:本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎(1)将点(2,-1)代入抛物线方程:22=2p×(-1)可得:p=-2,‎ 故抛物线方程为:x2=-4y,其准线方程为:y=1.‎ ‎(2)很明显直线l的斜率存在,焦点坐标为(0,-1),‎ 设直线方程为y=kx-1,与抛物线方程x2=-4y联立可得:x2+4kx-4=0.‎ 故:x1+x2=-4k,x1x2=-4.‎ 设M,N,则kOM=-,‎ kON=-,‎ 直线OM的方程为y=-x,与y=-1联立可得:A,同理可得B,‎ 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:,圆的半径为:,‎ 且:+==2k,=2×=2,‎ 则圆的方程为:(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1),‎ 令x=0整理可得:y2+2y-3=0,解得:y1=-3,y2=1,‎ 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,-3),(0,1).‎ - 5 -‎