2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用课时作业 5页

第3讲 圆锥曲线的综合应用 限时60分钟　满分60分 解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)‎ ‎1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(2,1)，且离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设A，B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，点P是椭圆C在第一象限内的一点，直线AP，BP分别交x轴，y轴于点M，N，求四边形ABMN面积的最小值．‎ 解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由离心率及c2＝a2－b2得a，b的关系，再把已知点代入即可求出标准方程；(2)设出点P的坐标，得到直线AP，BP的方程，从而表示出点M，N的坐标，进而得到|AN|·|BM|，最后利用S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB及基本不等式求面积的最小值．‎ ‎(1)由椭圆的离心率为得，＝，又c2＝a2－b2，∴a＝2b.又椭圆C经过点(2,1)，∴＋＝1，解得b2＝2，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知，A(0，)，B(2，0)，设P(x0，y0)(0＜x0＜2，0＜y0＜)，则直线AP：y＝x＋，从而M.‎ 直线BP：y＝(x－2)，从而N.‎ ‎∵＋＝1，∴|AN|·|BM|＝·＝ ‎＝＝8.‎ ‎∴S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB ‎＝(|OM|·|ON|－|OA|·|OB|)‎ ‎＝(|BM|＋2|AN|＋8)‎ - 5 -‎ ‎＝(|BM|＋2|AN|)＋4‎ ‎≥4＋·2 ‎＝4＋4(O为坐标原点)，‎ 当且仅当|BM|＝4，|AN|＝2时取得最小值．‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线x＋y＋4＝0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．‎ 解：本题主要考查椭圆与直线的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．‎ ‎(1)由题意可得，，解得，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立得，得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 因为kMA＋kMB＝＋＝，‎ 所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－1(为定值)．‎ ‎3．(2019·淮南三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.‎ ‎①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎②若O为坐标原点，求·的取值范围．‎ 解析：(1)由题意可得离心率e＝＝，‎ 又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，‎ - 5 -‎ 所以b＝＝1，‎ 结合a2－b2＝c2，解得a＝，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由题意知A(0，－)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，‎ 即有x1x2＝y1y2＋(y1＋y2)＋3，‎ 由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，‎ 设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，‎ 代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，‎ 所以x1x2＝，x1＋x2＝－，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t－＝，‎ y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2‎ ‎＝k2·＋kt＋t2＝，‎ 所以＝＋＋3，‎ 化简得t2＋3t＋6＝0，解得t＝－2(－舍去)，‎ 则直线MN的方程为y＝kx－2，‎ 即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，－2)．‎ ‎②由①可得·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝，‎ 由(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，可得Δ＝4k2t2－4(t2－3)(3＋k2)＝48k2－36(3＋k2)＞0，解得k2＞9.‎ 令3＋k2＝m，则m＞12，且k2＝m－3，‎ 所以＝＝－3，‎ 由m＞12，可得－3＜－3＜.‎ 则·的取值范围是.‎ ‎4．(2019·浙江卷)‎ - 5 -‎ 如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.‎ ‎(1)求p的值及抛物线的准线方程；‎ ‎(2)求的最小值及此时点G的坐标．‎ 解：(1)由题意得＝1，即p＝2.‎ 所以，抛物线的准线方程为x＝－1.‎ ‎(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xc，yc)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.‎ 由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，‎ 故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.‎ 又由于xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－＋yC＝0，得C，G.‎ 所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．‎ 由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而 ＝ ‎＝＝＝2－.‎ 令m＝t2－2，则m>0，‎ - 5 -‎ ＝2－＝2－≥2－＝1＋.‎ 当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．‎ ‎5．(2019·北京卷)已知拋物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．‎ ‎(1)求拋物线C的方程及其准线方程；‎ ‎(2)设O为原点，过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ 解析：本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．‎ ‎(1)将点(2，－1)代入抛物线方程：22＝2p×(－1)可得：p＝－2，‎ 故抛物线方程为：x2＝－4y，其准线方程为：y＝1.‎ ‎(2)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，‎ 设直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程x2＝－4y联立可得：x2＋4kx－4＝0.‎ 故：x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4.‎ 设M，N，则kOM＝－，‎ kON＝－，‎ 直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得：A，同理可得B，‎ 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，‎ 且：＋＝＝2k，＝2×＝2，‎ 则圆的方程为：(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，‎ 令x＝0整理可得：y2＋2y－3＝0，解得：y1＝－3，y2＝1，‎ 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0,1)．‎ - 5 -‎