福建省厦门市2020届高三第一次质量检查（一模考试）数学试题（理科） Word版含解析 25页

www.ks5u.com 厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查 数学（理科）试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式化简集合，再进行交集运算，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，求解时注意这一条件的应用.‎ ‎2.若复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 设，代入中，再利用模的运算，即可得答案；‎ ‎【详解】设，代入得：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的运算、复数对应点的轨迹方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则（ ）‎ A. 17 B. 15 C. 13 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求得的值，再代入通项公式，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量运算，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.A、B两名同学6次的跳高成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为，，标准差分别为，，则（ ）‎ A ， B. ，‎ - 25 -‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形中的数据，易得A同学的平均值较高，且数据比较集中，即可得答案；‎ ‎【详解】根据图形中的数据知A同学只是第3次成绩低于B同学，可直观看出A同学的平均成绩较高，故；由于B同学的成绩波动较大，所以；‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查统计中的平均数与标准差，考查数据处理能力，属于基础题.‎ ‎5.1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方与它的公转周期（单位：秒）的平方之比是一个常量，即，（其中k为开普勒常数，M为中心天体质量，G为引力常量）．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为（ ）‎ A. 150年 B. 200年 C. 250年 D. 300年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 地球轨道的半长轴长和运行周期可求得的值，再进一步利用公式计算冥王星的运行周期.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ ‎，‎ ‎（秒）‎ 年.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数学文化，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意对时间单位的理解，可减少计算量.‎ - 25 -‎ ‎6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图可知是一个周期数列，求出当时，对应的值，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，输出，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，求解时注意何时终止循环.‎ ‎7.如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M，N - 25 -‎ 在正视图上的对应点分别是A、B．则在此圆锥的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ ‎ ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知几何体的直观图为圆锥，则圆锥的侧展图如图所示，再根据三视图中的数据，即可得答案；‎ ‎【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥，‎ 圆锥的底面周长为，圆锥侧展图的圆心角为，‎ 由三视图可得，点在侧展图的位置，如图所示，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离，考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎8.在直角中，，，，D是的内心，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形的特点建立直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用平面向量基本定理的坐标运算，即可得答案；‎ ‎【详解】以坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 设内切圆的半径为，则，‎ ‎，，‎ 设，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、三角形的内切圆半径求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎9.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①是偶函数；②在区间上是增函数；③的最大值为2；④‎ - 25 -‎ 的周期为．‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①，根据偶函数的定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.‎ ‎【详解】对①，函数的定义域为关于原点对称，且，为偶函数，故①正确；‎ 对②，当时，，则，在不恒成立，在区间上是增函数错误，故②错误；‎ 对③，若的最大值为2，则，显然不可能同时取到，故③错误；‎ 利用排除法，可选排除选项ACD.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意排除法的运用.‎ ‎10.已知点，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据圆外一点到圆上一点距离的最小值得，再利用抛物线的定义，即可得答案；‎ ‎【详解】如图所示，过作准线的垂线交于，‎ - 25 -‎ ‎，‎ 当三点共线时，取得最小值，‎ 的最小值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值、抛物线的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意线段之间转换的应用.‎ ‎11.在四面体ABCD中，，，．若平面同时与直线AB、直线CD平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得截面为平行四边形，求出异面直线所成的角，再代入三角形的面积公式，利用基本不等式可求得面积的最值.‎ ‎【详解】如图所示，在四面体ABCD中，截面为，‎ 由线面平行的性质定理可得，‎ 同理可得：；‎ 四边形为平行四边形；‎ - 25 -‎ 当分别为边的棱的中点时，‎ ‎，‎ 为中点，，，‎ ‎，‎ ‎，；‎ 设，则，，‎ ‎，等号成立当且仅当，‎ 多边形截面面积的最大值为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行性质定理的运用、截面的面积最值、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基本不等式求最值的运用.‎ ‎12.已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，分别作出函数，，的图象，通过图象观察易得成立；利用基本不等式可证B成立；构造函数可证C成立；构造函数可得，再利用函数的单调性，可证得D不成立；‎ ‎【详解】对A，如图，作出函数、和的草图，因为A，B关于C对称，且，因为，所以，故A正确；‎ 对B，由基本不等式，，因为，所以等号不成立，故B正确；‎ 对C，因为，所以，记，‎ 则，故时，，所以在上单调递增，所以，即，即，故C正确；‎ - 25 -‎ 对D，记，则，，则，又，易知在上单调递增，故，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知数列的前n项和为，且，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系令，即可求得的值.‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.的展开式中常数项为________．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案；‎ - 25 -‎ ‎【详解】的展开式的通项公式 当和时，可得展开式中常数项为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题.‎ ‎15.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意得函数关于呈中心对称，由的解析式可得函数在单调递减，并求出的解析式，可得，从而得到关于的不等式，即可得答案.‎ ‎【详解】，关于中心对称，‎ 当时，设为图象上任意一点，则关于对称点为，‎ ‎，‎ 中，当时，，‎ 所以在上单调递减，且，‎ ‎，解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质、利用函数的单调性解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ - 25 -‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，P是双曲线上一点，且，点M满足，，则双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取另一三等分点N，则有，又M是PN中点，则有Q是OP中点，再由平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和，列出关于的方程，即可得答案；‎ ‎【详解】因为点M满足，所以M是一个三等分点，‎ 取另一三等分点N，则有，又M是PN中点，则有Q是OP中点，‎ 因为，‎ 所以，则，‎ 由平行四边形对角线平方和等于四边的平方和，‎ ‎，‎ ‎，化简得．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何知识的运用.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ - 25 -‎ ‎17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，AB边上的中线，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可得，再利用诱导公式和倍角公式，求得，即可得答案；‎ ‎（2）利用余弦定理求出，再代入三角形的面积公式，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）依题设及正弦定理可得，， ‎ 因为，所以，‎ 所以， ‎ 又，所以，‎ 又，所以，即. ‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，故为等腰三角形．‎ 则， ‎ 在中由余弦定理可得，，‎ 即，解得， ‎ 所以.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.‎ ‎18.如图，平行四边形ABCD中，，E、F分别为AD，BC的中点．以EF为折痕把四边形EFCD折起，使点C到达点M的位置，点D到达点N的位置，且．‎ ‎（1）求证：平面NEB；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记，连接NO，证明即可证明结论；‎ ‎（2）先证明平面ABFE，再以直线OE为x轴，直线OA为y轴，直线ON为轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE的法向量，平面NBE的一个法向量，代入向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：记，连接NO，‎ 可知四边形ABFE是菱形，所以，且O为AF，BE的中点，‎ 又，所以，‎ 又因为，NO，平面NEB，‎ 所以平面NEB. ‎ ‎（2）因为，所以，，‎ - 25 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 又由（1）可知：，且，AF，平面ABFE，‎ 所以平面ABFE，以直线OE为x轴，直线OA为y轴，直线ON为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，所以，，‎ 设是平面MBE的法向量，则 ‎，取，得，‎ 又平面NBE的一个法向量为，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为． ‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等.‎ ‎19.已知椭圆，A为C的上顶点，过A的直线l与C交于另一点B，与x轴交于点D，O点为坐标原点．‎ ‎（1）若，求l的方程；‎ - 25 -‎ ‎（2）已知P为AB的中点，y轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对直线的斜率进行讨论，当斜率不存在时显然不满足，当直线斜率存在时，设出直线方程，代入弦长公式求出斜率的值，即可得答案；‎ ‎（2）利用中点坐标公式求得，根据求出，的方程，即可得到定点坐标.‎ ‎【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，，，舍去；‎ ‎②当直线的斜率存在时，，，‎ 联立方程，化简得，‎ 解得或，所以，‎ 所以，化简得， ‎ 解得或（舍去），即， ‎ 所以.‎ - 25 -‎ ‎（2）①，由（1）得，，‎ 所以，又因为，所以，所以，‎ 所以，‎ 即存在定点满足条件． ‎ ‎②，则O，P重合，也满足条件 ‎ 综上，存在满足条件．‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.‎ ‎20.小明和爸爸玩亲子游戏，规则如下：袋中装有3个大小相同球，1个白球，2个红球，每次摸出一个球，记下颜色后放回，若摸出白球，则下一次由原摸球人继续摸球；若摸出红球，则下一次由对方摸球，规定摸球m次，最后一次由谁摸球就算谁获胜．第一次由小明摸球．‎ ‎（1）求前3次摸球中小明恰好摸2次的概率；‎ ‎（2）设第n次由小明摸球的概率为，则．‎ ‎（ⅰ）求；‎ ‎（ⅱ）在与之中选其一，小明应选哪个？（只写结果，不必说明理由！）‎ ‎【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）选19次．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎（1）设事件{前3次摸球中小明恰好摸2次球}，事件{第i次由小明摸球}，利用相互独立事件的概率计算，即可得答案；‎ ‎（2）（ⅰ）第4次由小明摸球有4种情况，分别计算概率，即可得到的值：‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ），猜测，所以选19次.‎ ‎【详解】（1）设事件{前3次摸球中小明恰好摸2次球}，事件{第i次由小明摸球}，‎ 所以.‎ ‎（2）第4次由小明摸球有以下情况：‎ 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 概率 情况1‎ 小明摸球 小明摸球 小明摸球 小明摸球 情况2‎ 小明摸球 小明摸球 爸爸摸球 小明摸球 情况3‎ 小明摸球 爸爸摸球 小明摸球 小明摸球 情况4‎ 小明摸球 爸爸摸球 爸爸摸球 小明摸球 则， ‎ 则， ‎ 则，‎ 则，‎ 所以.‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ），猜测，所以选19次.‎ ‎【点睛】本题考查概率的性质和概率与数列的综合应用等知识；考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算素养；考查统计与概率、或然与必然思想等.‎ - 25 -‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若直线与曲线相切，求实数a的值；‎ ‎（2）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论零点的个数．‎ ‎【答案】（1）．（2）当时，有1个零点；当时，有2个零点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切点利用切点既在曲线上又在切线上，导数的几何意义，可得方程组消去得（*），利用导数解方程，即可得答案；‎ ‎（2）对分三种情况考虑，即、、，可得时无零点，时一个零点，时，，的零点即为的零点，再利用零点存在定理，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）依题意，，‎ 则曲线在点处的切线方程为，‎ 又，代入整理得，‎ 此直线与重合，得 消去得（*），‎ 记，则，‎ - 25 -‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 所以，当且仅当时取等号． ‎ 由（*）式可知，‎ 所以，即． ‎ ‎（2）①当时，，‎ 所以，无零点，‎ ‎②当时，，从而，故为的一个零点，‎ ‎③当时，，则的零点即为的零点，‎ 令，得，‎ ‎（ⅰ）若，即时，，‎ 从而在上单调递增，进而，又，‎ 所以，此时在上无零点. ‎ ‎（ⅱ）若，即时，‎ 因为在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为，，‎ 故在上无零点.‎ 另外，由（1）可知恒成立，即对恒成立，‎ 则，‎ 所以，‎ 故存在，进而存在，使得，即，‎ - 25 -‎ 此时在上存在唯一零点.‎ 综上可得，当时，有1个零点；当时，有2个零点．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、导数几何意义及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的方程为，动点P到原点O的距离与到l的距离相等．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）若Q是曲线C上一点，且，求．‎ ‎【答案】（1），.（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，代入圆的方程，即可得到圆的极坐标方程；对点P在y轴右侧时，P在y轴，y轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到；‎ ‎（2）因为，所以设点，且，求出的值，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）由得，.‎ 因为，所以，即为C的极坐标方程. ‎ 当P在y轴右侧时，过点P作x轴的垂线，垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R，‎ 因为点P到原点距离与到l距离相等，所以.‎ - 25 -‎ 在中，，所以.‎ ‎ ‎ 因为，所以.‎ 当P在y轴或y轴左侧时，满足.‎ 综上，P点轨迹的极坐标方程为. ‎ ‎（2）因为，所以设点，且.‎ 又，所以， ‎ 解得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）若a，b，，，证明：；‎ ‎（2）若，对于任意的，恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得，两边平方再利用基本不等式，即可得答案；‎ ‎（2）对于任意的，恒成立，取得到的范围，进而验证 - 25 -‎ 或符合题意.‎ ‎【详解】（1）由已知得，， ‎ 所以 ‎ .‎ 所以.‎ ‎（2）当时，，‎ 因为对于任意的，恒成立，‎ 所以，解得或，‎ ‎①当时，‎ 在为减函数，‎ 所以，即， ‎ ‎②当时，‎ 在为减函数，‎ 所以，即，‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法．‎ - 25 -‎ - 25 -‎