【数学】2019届一轮复习北师大版常用逻辑用语学案 17页

《2018 艺体生文化课-百日突围系列》 专题二 常用逻辑用语 命题及其关系 【背一背基础知识】 一．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的 语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 ，则 逆否命题 若 ，则 即 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命 题，这个命题叫做原命题的否命题；学 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆 否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题. 2．四种命题间的逆否关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； p¬ q¬ q¬ p¬ (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 【讲一讲基本技能】 必备技能 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等 价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为 （1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原 命题的逆命题； （2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原 的否命题； （3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题. 注意 在写其他三种命题时，大前提必须放在前面. 2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式， 也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然 后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断 其逆否命题的真假． 4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念 ①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原 命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于 反证法． 典型例题 例 1【2018 届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）】命题“若 ，则 ”的逆否 命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【练一练趁热打铁】 1. 命题 p “若 a≥b，则 a＋b>2 015 且 a>－b”的逆否命题是 0xy = 0x = 0xy = 0x ≠ 0xy ≠ 0x ≠ 0xy ≠ 0y ≠ 0x ≠ 0xy ≠ ________________________________________________________________________． 【答案】若 a＋b≤2 015 或 a≤－b，则 a2 015 且 a>－b”的逆否命题是 “若 a＋b≤2 015 或 a≤－b，则 a 2 0x x m+ − = 2 0x x m+ − = 0m > 2 0x x m+ − = 0m ≤ 2 0x x m+ − = 0m > 2 0x x m+ − = 0m ≤ D D 【讲一讲基本技能】 充要关系的几种判断方法 (1)定义法 若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必要而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也不必要条件. (2)等价法 即利用 与 ； 与 ； 与 的等价 关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N， 则 M 是 N 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件，N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不 充分条件，M＝N 等价于 p 和 q 互为充要条件，M，N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件 【特别提醒】1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性 若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性 若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要) 条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同，前 者是“ ”而后者是“ ”． 2．从逆否命题谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断 原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则 反”． 3．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验． 2.典型例题 例 1【2018 届北京市通州区高三上学期期末】已知 ，那么“直线 与 垂直”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B ,p q q p⇒ ≠> p q ,p q q p≠> ⇒ p q ,p q q p⇒ ⇒ p q ,p q q p≠> ≠> p q ,p q q p⇒ ≠> ,p q q p≠> ⇒ a R∈ 1y ax= − 4 2y ax= − + 1 2a = p q⇒ q p¬ ¬⇒ q p⇒ p q¬ ¬⇒ p q⇔ q p¬ ¬⇔ 例 2【2018 届北京市海淀区高三第一学期期末】设 是不为零的实数，则“ ”是“方 程 表示的曲线为双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由题意得，方程 表示双曲线，则 或 ， 所以“ ”是方程“ 表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A. 【练一练趁热打铁】 1.【2018 届广东省五校协作体高三第一次联考】“ ”是“ ” 的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要 条件 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以“ ”是 “ ” 的充要条件，选 A. 2. 已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平 面 β 相交”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A m 0m > 2 2 1x y m m − = 2 2 1x y m m − = 0m < 0m > 0m > 2 2 1x y m m − = 1x > ( )2log 1 1x + > ( )2log 1 1x + > 1 2 1x x+ > ∴ > 1x > ( )2log 1 1x + > 逻辑联结词 【背一背基础知识】 1．用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作 ，读作“p 且 q”． 2．用联结词“或”联结命题 p 和命题 q，记作 ，读作“p 或 q”． 3．对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 p，读作“非 p”或“p 的否定”．[ ] 4．命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 【讲一讲基本技能】 1．逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、 补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义 解答由“或、且、非”三个联结词构成的命 题问题． 2．“p q”“p q”“ p”形式命题真假的判断步骤 （1）确定命题的构成形式；学 （2）判断其中命题 p、q 的真假； （3）确定“p q”“p q”“ p”形式命题的真假． 3．含逻辑联结词命题真假的等价关系 （1）p q 真⇔p,q 至少一个真⇔( p) ( q)假. （2）p q 假⇔p,q 均假⇔( p) ( q)真. （3）p q 真⇔p,q 均真⇔( p) ( q)假. （4）p q 假⇔p,q 至少一个假⇔( p) ( q)真. p q∧ p q∨ ¬ ∨ ∧ ¬ ∧ ∨ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ （5） p 真⇔p 假; p 假⇔p 真. 4．命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断规律 p q 中 p、q 有一假为假，p q 有一真为真， p 与非 p 必定是一真一假． 典型例题 例 1【2018 届华大新高考联盟高三 1 月】设命题 向量 ，则 在 方 向上的投影为 ，命题 是 的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ） A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题 C. 命题 是假命题 D. 命题 是真命题 【答案】D 【解析】由题意可得 ， 则 ，则两向量 的夹角为 ， 在 方向上的投影为 ， 命题 为真命题， 很明显命题 为假命题， 逐一考查所给的选项 A.命题 是真命题 B.命题 是假命题 C.命题 是假命题 D.命题 是真命题 本题选择 D 选项. 例 2 已 知 命 题 ， ， 命 题 ， ， 则 （ ）[ 学, , ] A.命题 是假命题 B.命题 是真命题 :p ( ) ( )1,1 , 0,2a b= = a b 1 2: 1q x < 1x < p q∨ p q∨ ( )p q¬ ∨ ( )p q∨ ¬ 0 2 2, 2, 2a b a b⋅ = + = = =   2 2cos , 22 2 a b = = ,a b 4 π a b 2cos 2 14 2a π× = × = p q p q∨ p q∧ ( )p q¬ ∨ ( )p q∨ ¬ ¬ ¬ ∧ ∨ :p x R∃ ∈ 2 lgx x− > :q x R∀ ∈ sin x x< p q∨ p q∧ C.命题 是真命题 D.命题 是假 命题 【答案】C 【练一练趁热打铁】 1. 已知命题 关于 的函数 在 上是增函数，命题 函数 为减函数，若 为真命题，则实数 的取值范围是 ( ) A． B. C． D. 【答案】C 2.已知命题 是简单命题，则“ 是假命题”是“ 是真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】当 是假命题时， 是真命题，故 是真命题；反之，当 是真命题时， 不一定是真命题．所以“ 是假命题”是“ 是真命题”的充分不必要条件．选 A． p x 2 3 4y = x ax− + [1, )+∞ q (2 1)xy = a − p q∧ a 2 3a ≤ 1 20 a< < 1 2 2 3a< ≤ 1 12 a< < ,p q p¬ p q∨ p¬ p p q∨ p q∨ p p¬ p q∨ ( )p q¬∧ ( )p q¬∨ 全称量词和存在量词 【背一背基础知识】 1．全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （3）全称命题“对 M 中任意一个 x，有 成立”可用符号简记为 ，读作“对 任意 x 属于 M，有 成立”． 2．存在量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （3）特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为 ，读 作“存在 中的元素 ，使 成立”． 3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 4．“ 或 ”的否定为 “非 且非 ”；“ 且 ”的否定为 “非 或非 ”． 5．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 【讲一讲基本技能】 1．全称命题真假的判断方法 （1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成 立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不 成立即可． 2．特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可， 否则这一特称命题就是假命题． 3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假. ∀ ( )p x , ( )x M p x∀ ∈ ( )p x ∃ M 0x 0( )p x 0 0, ( )x M p x∃ ∈ M 0x 0( )p x p q p q p q p q , ( )x M p x∀ ∈ 0 0, ( )x M p x∃ ∈ ¬ 0 0, ( )x M p x∃ ∈ , ( )x M p x∀ ∈ ¬ 4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 真 所有对象使命题真 否定为假 全称命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 真 存在一个对象使命题真 否定为假 特称命题 假 所有对象使命题假 否定为真 5．命题的否定与否命题的区别 “否命题”是对原命题“若 ，则 ”的条件和结论分别 加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 ”，只是 否定命题 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真， 而原命题与否命题的真假无必然联系． 6．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提． 7．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 8．要判断“ p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p 与 p 的真假相 反． 9．常见词语的否定形式有 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意 x∈A 使 p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在 x0∈A 使 p(x0)假 2.典型例题 例 1【2018 届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末】命题“ ”的否 定是______________________. 【答案】 【解析】因为命题“ ”的否定是“ ” 所以命题“ ”的否定是 例 2 若“ ”是真命题，则实数 的最小值为 . 【答案】1 0 0 0, 1xx R e x∃ ∈ > + , 1xx R e x∀ ∈ ≤ + ,px∃ , px∀ ¬ 0 0 0, 1xx R e x∃ ∈ > + , 1xx R e x∀ ∈ ≤ + p q p p ¬ ¬ 0, ,tan4x x m π ∀ ∈ ≤   m 【解析】若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在 的最大值 因为函数 在 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为 1， 所以， ，即实数 的最小值为 1. 所以答案应填 1. 【练一练趁热打铁】 1. 下列命题中是假命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由任意角的三角函数可知， ，所以 是真命题； 由指数函数的性质， 是真命题；由 知， 是真命题；事 实上，由 ， 是假命 题.故选 B. 2. 命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ） A． ，使得 B． ，使得 C． ，使得 D． ，使得 【答案】D 【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选 D． (0, ), >2x x sin x π∀ ∈ 0 0 0, + =2x R sin x cos x∃ ∈ ,3 >0xx R∀ ∈ 0 0, =0x R lg x∃ ∈ (0, ), >2x x sin x π∀ ∈ ,3 >0xx R∀ ∈ 0 0, =0x R lg x∃ ∈ 0 0 0, + =2x R sin x cos x∃ ∈ *x n∀ ∈ ∃ ∈，R N 2n x> *x n∀ ∈ ∃ ∈，R N 2n x< *x n∀ ∈ ∀ ∈，R N 2n x< *x n∃ ∈ ∃ ∈，R N 2n x< *x n∃ ∈ ∀ ∈，R N 2n x< ∀ ∃ ∃ ∀ 2n x≥ 2n x< 0, ,tan4x x m π ∀ ∈ ≤   m tany x= 0, 4 π     tany x= 0, 4 π     tany x= 0, 4 π     1m ≥ m (0, ),sin tan2x x x x π∈ < < lg1 0= 0 0 0sin cos 2 sin( ) [ 2, 2]4x x x π+ = + ∈ − （一）选择题（12*5=60 分） 1．【2018 届辽宁省丹东市高三上学期期末】命题“ ”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】命题“ ”的否定为 ，故选 A. 2．【2018 届宁夏育才中学高三上学期期末】“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 点睛 解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元 一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决． 3．【2018 届北京市东城区高三第一学期期末】直线 与圆 相交于 两点，则“ ”“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件, 【答案】A 【解析】 直线 与圆 相交于 两点， 圆心到直线的距离 ，则 ，当 时， ，即充分性成立，若 ，则 ，即 ，解得 或 ，即必要性不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A. 0,ln 0x x∃ > > 0,ln 0x x∀ > ≤ 0,ln 0x x∀ ≤ ≤ 0,ln 0x x∀ > < 0,ln 0x x∃ > ≤ 0,ln 0x x∃ > > ,ln 0x R∀ ∈ ≤ 2x < 1 02x <− : 1l y kx= + 2 2: 1O x y+ = ,A B 1k = 2AB =  : 1l y kx= + 2 2: 1O x y+ = ,A B ∴ 2 1 1 d k = + AB = 2 2 2 2 12 1 2 1 21 1 kd k k − = − =+ + 1k = 12 22AB = = 2AB = 2 22 21 k k =+ 2 1k = 1k = 1k = − 1k = 2AB = 4．命题 ， ，命题 抛物线 的焦点到准线的距离为 ，那么下 列命题为真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 5．【2018 届浙江省杭州市高三上学期期末】设数列 的通项公式为 则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时 ，则数列 为单调递增数列 若数列 为单调递增数列，则 即可，所以“ ”是“数列 为单 调递增数列”的充分不必要条件 故选 . 6．【2018 届河北省石家庄市高三上学期期末】已知命题 ， ，则 是 成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分有不必要 【答案】B 【解析】 ,因为 ,所以 是 成立的必要不充分条 :P x R∃ ∈ tan 1x > :q 21 3y x= 1 6 p¬ ( )p q¬ ∨ p q∧ ( )p p∧ ¬ { }na ( )*2na kn n N= + ∈ 2k > { }na 2k > 1 2n na a k−− = > { }na { }na 1 0n na a k−− = > 2k > { }na A : 1 2p x− < < 2:log 1q x < p q 2:log 1q x < 0 2x⇒ < < ( ) ( )0,2 1,2⊂ − p q 件,选 B. 7．若 ， 是两个非零的平面向量，则“ ”是“ ”的 （ ）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 ，得 ，所以是充要条件，故选 C。 8．【2018 届浙江省台州市高三上学期期末】已知 ，则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 9．【2018 届重庆市高三上学期期末】命题 “若 ，则 ”，则命题 以及它的 否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】命题 “若 ，则 ”是真命题，则其逆否命题为真命题； 其逆命题 “若 ，则 ”是假命题，则其否命题也是假命题； 综上可得 四个命题中真命题的个数为 2. 本题选择 B 选项. 10．已知 表示两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 a b | |a b=  ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =   ( ) ( ) 22 0a b a b a b+ ⋅ − = − =     a b=  Ra∈ 1a ≤ 1 1 2a a+ + − = :P 1x > 2 1x > P :P 1x > 2 1x > 2 1x > 1x > ,α β m α α β⊥ m β⊥ 【答案】C 【解析】由题意可得若“ ”，不一定有“ ”， 反之，若“ ”，由面面垂直的判断定理可得“ ”， 即“ ”是“ ”的必要不充分条件. 本题选择 C 选项. 11．设 、 ，则“ 、 均为实数”是“ 是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 12.已知命题 命题 则下列命题是真命题的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当 时， ，命题 是假命题； 当 时， ，命题 为真命题， 考查所给的命题 A. 是假命题； B. 是真命题； C. 是假命题； D. 是假命题； 本题选择 B 选项. α β⊥ m β⊥ m β⊥ α β⊥ α β⊥ m β⊥ 1z C∈2z 1z 2z 21 zz − 2: , 0;p x R x x∀ ∈ − > 1: ,2 ,2 xq x R∃ ∈ < p q∧ p q¬ ∧ p q∨ ¬ p q¬ ∧ ¬ 0x = 2 0x x− = p 2x = − 1 12 4 2 x = < q p q∧ p q¬ ∧ p q∨ ¬ p q¬ ∧ ¬ （二）填空题（4*5=20 分） 13.【2018 届江西省 12 联盟高三教育质量检测】已知命题 “ ”，则 __________． 【答案】 【解析】∵“ ” ∴ 故答案为 14.【2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考】对于常数 、 ，“ ”是方程 “ 的曲线是椭圆”的__________．学 【答案】必要不充分条件 【解析】因为 时， 表示圆，所以“方程“ 的曲线是 椭圆””推不出方程“方程“ 的曲线是椭圆”，当方程“ 的曲 线是椭圆”时，能推出 ，所以应该填必要不充分条件. 15.【2018 届江苏省镇江市高三上学期期末】已知 ，则“ ”是直线 与直线 平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充 分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个） 【答案】充要 16. 给出以下四个命题 ①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 q≤－1，则 x2＋x＋q＝0 有实根”的逆否命题； P 2, 0x R x∀ ∈ ≥ P¬ 2 0 0, 0x R x∃ ∈ < 2, 0x R x∀ ∈ ≥ P¬ 2 0 0, 0x R x∃ ∈ < 2 0 0, 0x R x∃ ∈ < m n 0mn > 2 2 1mx ny+ = 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1mx ny+ = 2 2 1mx ny+ = 2 2 1mx ny+ = 0mn > ,x y R∈ 1a = 1 0ax y+ − = 1 0x ay+ + = ④若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①③ 【解析】①命题“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，显然①为真命题； 学！ ②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题； ③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题； ④若 ab 是正整数，则 a，b 不一定都是正整数，例如 a＝－1，b＝－3，故④为假命题． 答案为 ①③.