【数学】2020一轮复习北师大版（理）15　导数与函数的小综合作业 5页

课时规范练15　导数与函数的小综合 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是(　　)‎ A.(-∞,2) B.(0,3)‎ C.(1,4) D.(2,+∞)‎ ‎2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则下列结论成立的是(　　)‎ A.a>0,b>0,c>0,d<0‎ B.a>0,b>0,c<0,d<0‎ C.a<0,b<0,c>0,d>0‎ D.a>0,b>0,c>0,d>0‎ ‎3.若f(x)=-‎1‎‎2‎(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是(　　)‎ A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)‎ ‎4.(2018湖南郴州一模)若b>a>3,f(x)=lnxx,则下列各结论中正确的是(　　)‎ A.f(a)0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　　　　　　　. ‎ ‎10.(2018河北衡水中学押题二,21改编)设函数f(x)=-a2ln x+x2-ax(a∈R).试讨论函数f(x)的单调性.‎ 综合提升组 ‎11.若函数f(x)=x+bx(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上递增的是(　　)‎ A.(-2,0) B.(0,1)‎ C.(1,+∞) D.(-∞,-2)‎ ‎12.(2018衡水中学九模,15)设函数f(x)=x‎2‎‎+1‎x,g(x)=xex,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式g(x‎1‎)‎k‎≤‎f(x‎2‎)‎k+1‎恒成立,则正数k的取值范围是　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎13.(2018陕西咸阳二模,12)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+f'(x)>1,设a=f(2)-1,b=e[f(3)-1],则a,b的大小关系为(　　)‎ A.ab C.a=b D.无法确定 ‎14.(2018湖南长郡中学三模,12)若函数f(x)在区间A上,对任意a,b,c∈A,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三边长,则称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)=xln x+m在区间‎1‎e‎2‎‎,e上是“三角形函数”,则实数m的取值范围为(　　)‎ A.‎1‎e‎,‎e‎2‎‎+2‎e B.‎‎2‎e‎,+∞‎ C.‎1‎e‎,+∞‎ D.‎e‎2‎‎+2‎e‎,+∞‎ 参考答案 课时规范练15　导数与函数的小综合 ‎1.D　函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)·ex>0,解得x>2.‎ ‎2.C　由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;∵f'(x)=3ax2+2bx+c,‎ 且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.‎ ‎3.C　由题意可知f'(x)=-(x-2)+bx≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,‎ 即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立.‎ 由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可.‎ ‎4.D　∵f(x)=lnxx,∴f'(x)=‎1-lnxx‎2‎.‎ 令f'(x)=0,解得x=e.‎ 当x≥e时,f'(x)<0,此时f(x)是减少的;当00,此时f(x)是增加的.‎ ‎∵b>a>3>e,∴ab>b>a+b‎2‎>ab>a>e,‎ ‎∴f(a)>f(ab)>fa+b‎2‎>f(b)>f(ab).故选D.‎ ‎5.A　当x<0时,f(x)=2x-ln(-x),f'(x)=2-‎1‎‎-x·(-1)=2-‎1‎x>0,‎ ‎∴f(x)在(-∞,0)内递增,则B、D错误;当x>0时,f(x)=2x-ln x,‎ f'(x)=2-‎1‎x=‎2x-1‎x,则f(x)在‎0,‎‎1‎‎2‎内递减,在‎1‎‎2‎‎,+∞‎内递增,故选A.‎ ‎6.A　f'(x)=x-‎1‎x=x‎2‎‎-1‎x,且x>0.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得00,即1-2x>0,解得00时,令F(x)=f(x)‎x,‎ 则F'(x)=xf'(x)-f(x)‎x‎2‎<0,‎ ‎∴当x>0时,F(x)=f(x)‎x是减少的.‎ ‎∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.‎ 在区间(0,1)内,F(x)>0;‎ 在(1,+∞)内,F(x)<0,即当00;‎ 当x>1时,f(x)<0.‎ 又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;‎ 当x∈(-1,0)时,f(x)<0.‎ 综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).‎ ‎10.解 ∵f(x)=-a2ln x+x2-ax,‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f'(x)=-a‎2‎x+2x-a=‎2x‎2‎-ax-‎a‎2‎x=‎(2x+a)(x-a)‎x.‎ ‎①若a>0,则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)递减,‎ 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)递增;‎ ‎②若a=0,则当f'(x)=2x>0在x∈(0,+∞)内恒成立,函数f(x)递增;‎ ‎③若a<0,则当x∈‎0,-‎a‎2‎时,f'(x)<0,函数f(x)递减,当x∈‎-a‎2‎,+∞‎时,f'(x)>0,函数f(x)递增.‎ ‎11.D　由题意知,f'(x)=1-bx‎2‎,‎ ‎∵函数f(x)=x+bx(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,‎ ‎∴当1-bx‎2‎=0时,b=x2.‎ 又x∈(1,2),∴b∈(1,4),令f'(x)>0,解得x<-b或x>b,‎ 即f(x)的递增区间为(-∞,-b),(b,+∞).‎ ‎∵b∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意,故选D.‎ ‎12.‎1‎‎2e-1‎‎,+∞‎　对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式g(x‎1‎)‎k≤f(x‎2‎)‎k+1‎恒成立等价于g(x‎1‎)‎kmax≤f(x‎2‎)‎k+1‎min,‎ ‎∵x>0,∴f(x)=x‎2‎‎+1‎x=x+‎1‎x≥2,当且仅当x=1时取等号,‎ ‎∴f(x)min=f(1)=2,‎ 即f(x‎2‎)‎k+1‎min=‎2‎k+1‎,‎ g'(x)=ex‎-xex‎(‎ex‎)‎‎2‎=‎1-xex,当00,当x>1时,g'(x)<0,∴函数g(x)在区间(0,1)上递增,在区间(1,+∞)上递减,∴g(x)max=g(1)=‎1‎e,∴g(x‎1‎)‎kmax=‎1‎ke,‎ ‎∴‎1‎ke≤‎2‎k+1‎,解得k≥‎1‎‎2e-1‎.‎ ‎13.A　设g(x)=ex[f(x)-1]=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].‎ ‎∵f(x)+f'(x)>1,∴g'(x)>0,即函数g(x)是R上的增函数,则g(2)f(x)max时,函数f(x)就是“三角形函数”,‎ ‎∴2‎-‎1‎e+m>e+m,解得m>e+‎2‎e,故选D.‎