2020年广西梧州市高考数学模拟试卷(理科)(2月份) (含答案解析) 20页

2020 年广西梧州市高考数学模拟试卷(理科)(2 月份) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 已知集合 香 䁢 㐮 1 ，则 㐮 䁧 A. 1 1䁢 B. 1䁢 C. 䁤 D. 䁤 . 已知 䁧 1 si在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是䁧 A. 䁧 11 B. 䁧 1i C. 䁧i1 D. 1 䁤. 某县共有 28个单位，为检查干部的上班情况，将其每个单位编号，编号依次为 01到 ‸.现用系 统抽样方法抽取 4个单位进行检查．若得到的编号的和为 54，则抽到的最小编号为䁧 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 䁢. 已知等比数列的前 n项和为，1 s 䁤 ，䁢 1，则 䁧 A. 15 B. 31 C. 40 D. 63 . 已知抛物线 䁧 i的焦点为 F，直线 䁢与抛物线的交点为 P，与 y轴的交点为 Q，且 䁤 㐮，则点 P的坐标为䁧 A. 䁧䁢 B. 䁧 䁢 C. 䁧䁢䁢 D. 䁧䁢 䁢 . 在平面直角坐标系 xOy中，已知 䁧1i，䁧i1，点 C在第二象限内，ᦙ ，且ᦙ ， 若ᦙ ᦙ s ᦙ ，则，的值分别是䁧 A. 䁤，1 B. 1， 䁤 C. 1， 䁤 D. 䁤，1 7. 阅读如下程序框图，如果输出 ，那么判断框中应填入的条件是䁧 A. 香 ‸ B. 香 䁣 C. 香 1i D. 香 11 ‸. 在集合 1 和 䁤䁢 中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被 4整除的概率为䁧 A. 1 1 B. 1 䁤 C. 1 䁢 D. 1 䁣. 设 ܥ 1是长方体，1ܥ111 1 111 䁤i，则异面直线 AB与11所 成的角、及直线1与平面 11所成的角分别为䁧 A. 䁤i䁤i B. 䁤i䁢 C. 䁢䁢 D. i䁢 1i. 已知 䁢coscos s 䁤 ，则下列说法中错误的是䁧 A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 在 1 上单调递减 C. 函数 的图象可以由函数 cos s 䁤 s 1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为 原来的 2倍得到 D. 7 1 1 是函数 图象的一个对称中心 11. 双曲线 1䁧 i的左、右焦点分别为1，过1作倾斜角为䁤i 的直线与 y轴和 双曲线右支分别交于 两点，若点 A平分1，则该双曲线的离心率䁧 A. 䁤 B. C. 2 D. 䁤 䁤 1. 已知函数 䁧 lg i s 䁢 i ，则函数 䁧 䁤的零点的个数为 䁧 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 1䁤. 䁧 s 的展开式中䁢的系数为________． 1䁢. 若实数 x，y满足 1 1 s 䁤 则 s 的最小值为________． 1. 已知点 䁧ii，䁧䁤䁤，䁧1，则 的面积为______ ． 1. 如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体外接球的体积为______ ． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 17. 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ． 䁧1求 A； 䁧若 BC边上的高 䁤， 7，求 的面积． 18. 如图 1，在直角梯形 ABCD中，ܥ， ܥ， 点，ܥ E是 BC边的中点，将 ܥ 沿 BD折起，使平面 ܥ 平面 BCD，连接 AE，AC，DE得到如图 2所示的几何体． 䁧1求证： 平面 ADC； 䁧若 ܥ 1，二面角 的平面角的正切值为ܥ ，求二面角 ܥ ᦙ的余弦值． 19. “微信运动”是微信里的一个计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公 众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的 PK或点赞．现从小明的微信 朋友圈内随机选取了 40人䁧男、女各 20人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如 下表： 性别步数 i iii ii1 iii ii1 ‸iii ‸ii1 1iiii 1iiii 男 1 2 4 7 6 女 0 3 9 6 2 䁧1若某人一天的走路步数超过 8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根 据题意完成下面的 列联表，并据此判断能否有 䁣i有的把握认为“评定类型”与“性别” 有关？ 䁧如果从小明这 40位好友内该天走路步数超过 10000步的人中随机抽取 3人，设抽取的女性 有 X人，求 X的分布列及数学期望 ᦙ䁧o． 附： 䁧 i.1i i.i i.i1i i.ii i.ii1 k .7i 䁤.‸䁢1 .䁤 7.‸7䁣 1i.‸‸ 䁧ܽ 䁧 s 䁧 s ܽ䁧 s 䁧s ܽ 䁧 s s s ܽ 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 i. 已知函数 䁧 䁧 1 s 䁧 .71‸..． 䁧‴当 1时，求函数 䁧的极值； 䁧‴‴求函数在区间 11上的最小值． 1. 已知椭圆 C： s 1䁧 i的离心率 1 ，且过点 䁧1 䁤 ． 䁧1求椭圆 C的方程； 䁧过 P作两条直线1，与圆䁧 1 s 䁧i 香 香 䁤 相切且分别交椭圆于 M，N两点， 求证：直线 MN的斜率为定值． . 在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 cos sin 䁧为参教， i .在以直角坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 E的方程为䁧1 s 䁤i 䁢． 䁧Ⅰ求曲线 C和曲线 E的直角坐标方程； 䁧Ⅱ若直线 l： 㐶分别交曲线 C、曲线 E于点 A，B，求 ᦙ面积的最大值． 23. 【选修 䁢 ：不等式选讲】 已知函数 䁧 s 䁢 䁧 i． 䁧Ⅰ求证：䁧 䁢； 䁧Ⅱ当 䁢时，解不等式 䁧 䁣． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 本题考查的是集合的交集运算，属于基础题． 解：集合 香 䁢 㐮 1 ， 即 㐮 1或 香 1 ， 故 㐮 1 香 香 䁢或 香 1 䁤 ， 故选 C． 2.答案：C 解析： 本题考查了复数的代数表示及其几何意义，不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题． 䁧 1 si 在复平面内对应的点在第二象限，可得 1 香 i i ，解可得 m 范围． 解： 䁧 1 si 在复平面内对应的点在第二象限， 则 1 香 i i ，解得 i 香 香 1． 实数 m 的取值范围是䁧i1． 故选：C． 3.答案：B 解析： 本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键． 求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号 x，根据编号的和为 54，求 x即可． 解：系统抽样的抽取间隔为 ‸ 䁢 7． 设抽到的最小编号 x， 则 s 䁧7 s s 䁧1䁢s s 䁧1s 䁢 䁤． 故选 B． 4.答案：D 解析：解：设等比数列的公比为 1， 1 s 䁤 ，䁢 1， 1䁧1 s ，1䁧䁢1 1 1， 解得1 1， ． 则 1 1 䁤． 故选：D． 设等比数列的公比为 1，根据1 s 䁤 ，䁢 1，可得1䁧1 s ，1䁧䁢1 1 1，进 而得出． 本题考查了等比数列的通项公式与前 n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：B 解析： 本题主要考查抛物线的性质和抛物线定义，属于基础题． 设 䁧i䁢，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得 ，进而得到抛物线方程与点 P的坐 标． 解：由题意，设 䁧i䁢， 代入抛物线 䁧 i中，可得i ‸ ， 所以㐮 ‸ ， s ‸ ． 又 䁤 㐮， 所以 s ‸ 䁤 ‸ ， 所以 ， 所以i ‸ ， 点 P的坐标为䁧 䁢 故选 B． 6.答案：D 解析： 本题主要考查了向量的运算，向量数量积 由ᦙ ᦙ 䁧 䁧1i ᦙ ᦙ cos ，得 䁧 䁤 䁤，由ᦙ ᦙ 䁧 䁧i1 ᦙ ᦙ cos 䁤，得 1 1， 解：因为ᦙ ， 所以香 ᦙ ，ᦙ ，香 ᦙ ，ᦙ 䁤 ． 因为ᦙ ᦙ s ᦙ 䁧， 所以ᦙ ᦙ 䁧 䁧1i ᦙ ᦙ cos ， 即 䁧 䁤 䁤， ᦙ ᦙ 䁧 䁧i1 ᦙ ᦙ cos 䁤， 即 1 1， 故选 D． 7.答案：B 解析： 本题考查程序框图，根据程序框图中的运算规律求出满足题意得 S范围即可． 解：由题意知判断框中的条件需在 i 䁢，即 䁣时执行此判断框后的“否”，而在 i 䁤，即 ‸ 时执行后面的“是”． 故选 B． 8.答案：C 解析： 本题考查概率的求法，考查古典概型的计算，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基 础题． 利用列举法求出符合条件的所有两位数的个数和能被 4整除的数的个数，由此能求出这个数能被 4 整除的概率． 解：在1和䁤4，两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为 13，31，14，41，15， 51，23，32，24，42，25，52共 12个， 其中能被 4整除的两位数是 24，32，52共 3个， 所求概率为 䁤 1 1 䁢 ． 故选 C． 9.答案：B 解析： 本题考查三角函数的定义，直角三角形的边的关系，以及异面直线所成角的概念及求法，余弦定理． 解：如图，连接 C1D，DA1，则 C11ܥ； 1C1D是异面直线 AB1与 A1C1所成角； 1 ， 1 1A1C1 䁤i； B1C1 ，DA1 2 a ， 异面直线 AB与11所成的角、及直线1与平面 11所成的角分别 䁤i和 䁢， 故选 B． 10.答案：C 解析： 本题主要考查了利用二倍角公式，和差角公式及辅助角公式对三角函数进行化简，还考查了余弦函 数的性质的综合应用，属于中档试题． 由已知结合二倍角公式，和差角公式及辅助角公式对 䁧进行化简，然后结合余弦函数的性质即可 检验各选项即可判断． 解：䁧 䁢ൌൌ䁧 s 䁤 䁢ൌ䁧 1 ൌ 䁤 i ൌ 䁤iൌ， 1 s ൌ 䁤i 1 s ൌ䁧 s 1 䁤 ， 由周期公式可知 ，故 A正确； 令 s 1 䁤 s 可得， s 1 䁤 ， 当 i时可得函数的单调递减区间 1 䁤 ，故 B正确； 函数 cos䁧 s 䁤 s 1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2倍可得 ൌ䁧 s 1 䁤 s ，故 C错误； 令 7 1 可得， 1，故 D正确． 故选 C． 11.答案：A 解析： 本题主要考查双曲线的简单性质及定义，属于基础题． 先在 㐶 1中，利用1和1求得 1和，进而根据双曲线的定义求得 a，最后根 据 a和 c求得离心率． 解：如图 因为点 A为1的中点，点 O是1的中点， 所以 ᦙ， 在 㐶 1中，1 䁤i，1 ， 1 ൌ䁤i 䁢 䁤 䁤 㐶䁤i 䁤 䁤 ， 1 䁤 䁤 ， 䁤． 故选 A． 12.答案：D 解析： 本题主要考查函数零点的个数的判断，利用数形结合来求解，属于中档题． 由 䁧 䁤 i，得 䁤，分别作出函数 和 䁤的图象，利用数形结合即可得到结 论． 解：由 䁧 䁤 i，得 䁤， 分别作出函数 和 䁤的图象， 如图： 则由图象可知 䁤有 4个不同的交点， 即函数 䁧 䁤的零点的个数为 4个． 故选 D． 13.答案：40 解析： 本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数． 求出二项展开式的通项，计算可得结果． 解：根据题意得，s1 䁧䁧 1i䁤， 令 1i 䁤 䁢，得 ， 䁧 s 的展开式中䁢的系数为 䁢i． 故答案为 40． 14.答案：2 解析： 本题考查利用线性规划求出最值，作出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解． 解：作出题中不等式组表示的平面区域， 目标函数可化为 1 s ，如图， 可得当 䁢， 1时，z取得最小值 . 故答案为 2． 15.答案： 䁤 解析：解：由已知得到直线 AB的方程为 i，所以 C到直线 AB的距离为 1 ， 䁤 ， 所以 的面积为1 䁤 䁤 ； 故答案为： 䁤 由题意，容易得到直线 AB的方程为 ，利用点到直线的距离到底 AB边上的高，由此得到三角 形的面积． 本题考查了直线方程以及点到直线的距离；关键是求出 AB长度以及 AB边上的高，属于基础题； 16.答案：‸ 解析：解：几何体为三棱锥，直观图如图所示： 其中 底面 ABC， ， 䁢， ， 以 B为原点建立如图所示的空间坐标系 ， 则 䁧0，i，䁧i0，i，䁧i4，i，䁧0，， 设棱锥的外接球球心为 䁧y，，则 ， 即䁧 s s s s s 䁧 䁢 s 䁧 s s 䁧 ， 1， ， 1， 外接球半径 s s ． 外接球的体积 䁢 䁤 䁤 ‸ . 故答案为：‸ . 作出几何体的直观图，建立坐标系，利用距离公式列方程求出外接球的球心坐标，从而得出外接球 的半径，代入体积公式计算得出答案． 本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题． 17.答案：解：䁧1 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 且 ． 利用正弦定理得： 䁤 ， 整理得：ൌ s 䁤 ， 由于：i 香 香 ， 则： ． 䁧由于：BC边上的高 䁤， 7， 则： 1 1 sin， 解得： 䁤 7， 即： 䁤 7. 由䁧1得到： s 䁤， 故： s 7 1. 由得： 1或 1 ． 1 sin 7 䁢 ， 故： 7 䁤 或 7 䁤 1i ． 解析：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用，属于中档题． 䁧1利用正弦定理将原式变形可得 䁤 ，再由余弦定理求出 A即可． 䁧利用三角形的面积公式结合䁧1求出边 c，再由 1 sin进一步求出结果． 18.答案：解：䁧Ⅰ因为平面 ܥ 平面 BCD，平面 ܥ 平面 ܥ ，ܥ 又 ܥ 所以，ܥ ܥ 平面 ABD． 因为 平面 ABD，所以 ܥ ． 又因为折叠前后均有 ܥ ܥ， ܥ ，ܥ ， 所以 平面 ADC． 䁧Ⅱ由䁧Ⅰ知 平面 ADC，所以二面角 ．ܥ的平面角为ܥ 又 ܥ 平面 ABD，ܥ 平面 ABD，所以 ܥ ．ܥ 依题意 tanܥ ܥ ܥ ． 因为 ܥ 1，所以 ܥ ． 设 䁧 i，则 ܥ s 1． 依题意 ～ܥ 所以，ܥ ܥ ܥ ܥ ，即 1 s1 ． 解得 ，故 ܥ 䁤 ܥ s ܥ 䁤． 如图所示，建立空间直角坐标系 ܥ ， 则 䁧i0，i，䁧ܥ 䁤ii，䁧i i，ᦙ䁧 䁤 i，䁧 䁤 䁤 i 䁤 ， 所以ܥᦙ 䁧 䁤 i，ܥ 䁧 䁤 䁤 i 䁤 ． 由䁧Ⅰ知平面 BAD的法向量 䁧i1i． 设平面 ADE的法向量 䁧 由 ᦙܥ i ܥ i得 䁤 s i 䁤 䁤 s 䁤 i. 令 ，得 䁤 䁤， 所以 䁧 䁤 䁤． 所以 cos 香 1 ． 由图可知二面角 ܥ ᦙ的平面角为锐角， 所以二面角 ܥ ᦙ的余弦值为 1 ． 解析：本题考查了空间线面垂直的判定，即面面角的求法，属于中档题． 䁧Ⅰ证明 ܥ ܥ. 即可得 平面 ADC． 䁧Ⅱ由䁧Ⅰ知 平面 ADC，即二面角 二面角ܥ的平面角为ܥ 的平面角ܥ 的正切值为 ，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系ܥ ，求出平面BAD的法向量 䁧i1i， 平面 ADE的法向量，即可得二面角 ܥ ᦙ的余弦值 19.答案：解：䁧1根据题意完成下面的 列联表如下： 积极型懈怠型总计 男 13 7 20 女 8 12 20 总计 21 19 40 䁢i䁧1䁤17‸ ii11䁣 . 香 .7i， 没有 䁣i有的把握认为“评定类型”与“性别”有关 䁧由䁧1知，从小明这 40位好友内该天走路步数超过 10000步的人中男性 6人，女性 2人，现从中 抽取 3人，抽取的女性人数 X服从超几何分布，X的所有可能取值为 0、1、2． 䁧o i 䁤 ‸ 䁤 i ， 䁧o 1 1 ‸ 䁤 䁤i ， 䁧o 1 ‸ 䁤 ， o的分布列如下： X 0 1 2 P i 䁤i ᦙ䁧o i i s 1 䁤i s 䁤 䁢 . 解析：本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、均值． 䁧1列出 列联表，计算，进行独立性检验； 䁧抽取的女性人数 X服从超几何分布，X的所有可能取值为 0，1，2，求出概率，得到分布列，求 出均值． 20.答案：解：䁧‴当 1时，䁧 䁧 1 s ， 䁧 s 1 䁧s 1䁧 1， 令䁧 i，解得 1或 i． 令䁧 i，解得 i或 香 1，此时函数 䁧单调递增； 令䁧 香 i，解得 1 香 香 i，此时函数 䁧单调递减． 当 1时，函数 䁧取得极大值，䁧 1 1 1 ； 当 i时，函数 䁧取得极小值，䁧i i． 䁧‴‴䁧 s 䁧s 1 䁧 s 1䁧 ． 当 1 时， i，由 1，可得䁧 i，此时函数 䁧单调递增． 当 1时，函数 䁧取得最小值，䁧 1 1 s 1 . 当 时， i，由 1，可得䁧 i，此时函数 䁧单调递减． 当 1时，函数 䁧取得最小值，䁧1 䁤 . 当 1 时，由 i，解得 ． 当 1 香 时，䁧 香 i，此时函数 䁧单调递减； 当 香 1时，䁧 i，此时函数 䁧单调递增． 当 时，函数 䁧取得极小值即最小值，䁧 ln． 解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推 理能力和计算能力，属于较难题． 䁧‴利用导数研究函数的单调性极值即可． 䁧‴‴䁧 s 䁧s 1 䁧 s 1䁧 1.对 a分类讨论：当 1 时，当 时，当 1 时，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可． 21.答案：解：䁧1由 1 ，设椭圆的半焦距为 c，所以 ， 因为 C过点 䁧1 䁤 ，所以 1 s 䁣 䁢 1，又 s ，解得 䁤， 所以椭圆方程为 䁢 s 䁤 1． 䁧显然两直线1，的斜率存在，设为1，，䁧11，䁧， 由于直线1，与圆䁧 1 s 䁧i 香 香 䁤 相切，则有1 ， 直线1的方程为 䁤 1䁧 1， 联立方程组 1 1 s 䁤 䁢 s 䁤 1 消去 y得䁧䁢1 s 䁤 s 1䁧1 ‸1 s 䁧䁤 1 1 i， 因为 P，M为直线与椭圆的交点，所以1 s 1 1䁧‸11 䁢1 s䁤 ， 同理，当与椭圆相交时 s 1 1䁧‸1s1 䁢1 s䁤 ， 所以1 䁢1 䁢1 s䁤，而1 1 1 s 1 11 䁢1 s䁤， 所以直线 MN的斜率 1 1 1 ． 解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与圆相切，椭圆方程的求法，考查计算能力． 䁧1利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求出 a，b，然后求解椭圆方程． 䁧直线1，的斜率存在，设为1，，䁧11，䁧，直线1，与圆䁧 1 s 䁧i 香 香 䁤 相切，则有1 ，直线1的方程为 䁤 1䁧 1，与椭圆方程联立，求出1 s 1 1䁧‸11 䁢1 s䁤 ， 同理，当与椭圆相交时 s 1 1䁧‸1s1 䁢1 s䁤 ，然后求解直线的斜率即可． 22.答案：解：䁧Ⅰ消去参数得曲线 C： s 䁢䁧 i， 曲线 E： 䁢 s 1． 䁧Ⅱ设 䁧ൌi， i ， 要使得 ᦙ面积的最大，则 䁧ൌ i． ᦙ 1 1 䁤sin cos 䁤 sin， i， 当 䁢时， ᦙ的面积取最大值 䁤 ． 解析：䁧Ⅰ消去参数得曲线 C的普通方程，将曲线 E化为直角坐标方程， 䁧Ⅱ设 䁧ൌi， i ，要使得 ᦙ面积的最大，则 䁧ൌ i，求出 ᦙ 的面积的最大值， 本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中 档题． 23.答案：解：䁧Ⅰ䁧 s 䁢 s 䁢 s 䁢 s 䁢 䁧当且仅当 且 䁧 䁢 i时“”成立， 故 䁧 䁢成立． 䁧Ⅱ当 䁢时，䁧 s i i 香 香 则 i 䁣或 䁣 解得 或 7， 故 䁧 䁣的解集为䁧 7 s ． 解析：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，是高考的重点．解题时 要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化． 䁧Ⅰ由三角不等式即可得到结果； 䁧Ⅱ由题意得，直接运用绝对值不等式化简即可求解．