高考数学三角函数典型例题(供参考) 15页

三角函数典型例题 1 ．设锐角 ABC 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， , 2 sina b A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos sinA C 的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由 2 sina b A ,根据正弦定理得sin 2sin sinA B A ,所以 1sin 2B  , 由 ABC 为锐角三角形得 π 6B  . (Ⅱ) cos sin cos sinA C A A         cos sin 6A A      1 3cos cos sin2 2A A A   3sin 3A      . 2 ．在 ABC 中,角 A． B．C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C． (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设     2 4 1 1m sin A,cos A ,n k, k ,    且 m n  的最大值是 5,求 k 的值. 【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C． 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA． ∵01,∴t=1 时, m n  取最大值. 2 依题意得,-2+4k+1=5,∴k= 2 3 . 3 ．在 ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ，， , 22sin2sin  CBA . I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值. 【解析】:I. )42sin(22sin2cos2sin2sin   CCCCC 2242   CC 即 ,所以此三角形为直角三角形. II. ababbaba 2216 22  , 2)22(64 ab 当且仅当 ba  时取等号, 此时面积的最大值为  24632  . 4 ．在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A． B．C 的对边,C=2A, 4 3cos A , (1)求 BC cos,cos 的值; (2)若 2 27 BCBA ,求边 AC 的长｡ 【解析】:(1) 8 1116 921cos22coscos 2  AAC 4 7sin,4 3cos;8 73sin,8 1cos  AACC 得由得由   16 9 8 1 4 3 8 73 4 7coscossinsincoscos  CACACAB (2) 24,2 27cos,2 27  acBacBCBA ① 又 aAacACC c A a 2 3cos2,2,sinsin  ② 由①②解得 a=4,c=6 2516 9483616cos2222  Baccab 5b ,即 AC 边的长为 5. 5 ．已知在 ABC 中, A B ,且 Atan 与 Btan 是方程 0652  xx 的两个根. (Ⅰ)求 )tan( BA  的值; (Ⅱ)若 AB 5 ,求 BC 的长. 【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 0652  xx 的两根 tan 3, tan 2A B  . ∴ tan tantan( ) 1 tan tan A BA B A B    2 3 11 2 3     (Ⅱ)∵ 180 CBA ,∴ )(180 BAC   . 由(Ⅰ)知, 1)tan(tan  BAC , ∵ C 为三角形的内角,∴ 2sin 2C  ∵ tan 3A  , A 为三角形的内角,∴ 3sin 10 A  , 由正弦定理得: sin sin AB BC C A  ∴ 5 3 3 5 2 10 2 BC    . 6 ． 在 ABC 中 , 已 知 内 角 A ． B ． C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量  2sin , 3m B  , 2cos2 ,2cos 12 Bn B      ,且 / /m n  ｡ (I)求锐角 B 的大小; (II)如果 2b  ,求 ABC 的面积 ABCS 的最大值｡ 【解析】:(1) / /m n   2sinB(2cos2B 2-1)=- 3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2B  tan2B=- 3 ∵0<2B<π,∴2B=2π 3 ,∴锐角 B=π 3 (2)由 tan2B=- 3  B=π 3 或5π 6 ①当 B=π 3 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵△ABC 的面积 S△ABC=1 2 acsinB= 3 4 ac≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3 ②当 B=5π 6 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) ∵△ABC 的面积 S△ABC=1 2 acsinB=1 4ac≤ 2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 7 ．在 ABC 中,角 A． B．C 所对的边分别是 a,b,c,且 .2 1222 acbca  (1)求 BCA 2cos2sin 2  的值; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=1 4 2sin 2 A C +cos2B= 4 1 (2)由 .4 15sin,4 1cos  BB 得 ∵b=2, a2 +c2 =1 2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 8 , S△ABC=1 2acsinB≤ 3 15 (a=c 时取等号) 故 S△ABC 的最大值为 3 15 8 ．已知 )1(,tan  aa ,求    2tan )2sin( )4sin(    的值｡ 【解析】 a a 1 2 ; 9 ．已知         3sin 5 cos cos2 3sin cos tan 32 2 f                                  (I)化简  f  (II)若 是第三象限角,且 3 1cos 2 5       ,求  f  的值｡ 【解析】 10．已知函数 f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx+2cos2x,xR. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 【解析】:(1) 1 cos2 3( ) sin 2 (1 cos2 )2 2 xf x x x    3 1 3sin 2 cos22 2 2 3sin(2 ) .6 2 x x x        ( )f x 的最小正周期 2 .2T    由题意得 2 2 2 , ,2 6 2k x k k Z         即 , .3 6k x k k Z       ( )f x 的单调增区间为 , , .3 6k k k Z        (2)先把 sin 2y x 图象上所有点向左平移 12  个单位长度, 得到 sin(2 )6y x   的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度, 就得到 3sin(2 )6 2y x    的图象｡ 11．已知        2 3,2 3a , )4cos,4(sin xxb  , baxf )( ｡ (1)求 )(xf 的单调递减区间｡ (2)若函数 )(xgy  与 )(xfy  关于直线 1x 对称,求当 ]3 4,0[x 时, )(xgy  的最大值｡ 【解析】:(1) )34sin(34cos2 3 4sin2 3)(   xxxxf ∴当 ]22 3,22[34  kkx  时, )(xf 单调递减 解得: ]83 22,83 10[ kkx  时, )(xf 单调递减｡ (2)∵函数 )(xgy  与 )(xfy  关于直线 1x 对称 ∴      34 )2(sin3)2()(  xxfxg           34cos3342sin3  xx ∵ ]3 4,0[x ∴     3 2,334 x ∴ ]2 1,2 1[34cos       x ∴ 0x 时, 2 3)(max xg 12．已知 cos 2sin   ,求下列各式的值; (1) 2sin cos sin 3cos       ; (2) 2sin 2sin cos   【解析】: 1cos 2sin , tan 2       Q (1) 12 12sin cos 2tan 1 42 1sin 3cos tan 3 532                     (2) 2 2 2 2 sin 2sin cossin 2sin cos sin cos           2 2 22 1 12tan 2tan 32 2 tan 1 51 12                          13．设向量 (sin ,cos ), (cos ,cos ),a x x b x x x R   ,函数 ( ) ( )f x a a b   (I)求函数 ( )f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式 3( ) 2f x  成立的 x 的取值集合｡ 【解析】 14．已知向量 )1,3 2(cos  m , )1,(sinn , m 与 n 为共线向量,且 ]0,2[   (Ⅰ)求  cossin  的值; (Ⅱ)求   cossin 2sin  的值.｡ 【解析】:(Ⅰ)  m 与 n 为共线向量, 0sin)1(1)3 2(cos   , 即 3 2cossin   (Ⅱ) 9 2)cos(sin2sin1 2   , 9 72sin   2)cos(sin)cos(sin 22   , 9 16)3 2(2)cos(sin 22   又 ]0,2[   , 0cossin   , 3 4cossin   因此, 12 7 cossin 2sin    15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶｡测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075 , 030 , 于水面C处测得B点和D点的仰角均为 060 ,AC=0.1km｡试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2  1.414, 6  2.449) 【解析】:在 ACD 中, DAC =30°, ADC =60°- DAC =30°, 所以 CD=AC=0.1 又 BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ABC 中, ABC AC BCA AB  sinsin , 即 AB= 20 623 51sin 60sin  AC 因此, km33.020 623 BD 故 B．D 的距离约为 0.33km｡ 16．已知函数 ( ) sin( ),f x A x x R    (其中 0, 0,0 2A      )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个 交点之间的距离为 2  ,且图象上一个最低点为 2( , 2)3M   . (Ⅰ)求 ( )f x 的解析式;(Ⅱ)当 [ , ]12 2x   ,求 ( )f x 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】： (1)由最低点为 2( , 2)3M   得 A=2. 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 2  得 2 T = 2  ,即T  , 2 2 2T      由点 2( , 2)3M   在图像上的 2 42sin(2 ) 2, ) 13 3         即sin( 故 4 2 ,3 2k k Z      112 6k     又 (0, ), , ( ) 2sin(2 )2 6 6f x x       故 (2) 7[ , ], 2 [ , ]12 2 6 3 6x x        　　　　 当 2 6x  = 2  ,即 6x  时, ( )f x 取得最大值 2;当 72 6 6x    即 2x  时, ( )f x 取得最小值-1,故 ( )f x 的值域为[-1,2] 17 ． 如 图 , 为 了 解 某 海 域 海 底 构 造 , 在 海 平 面 内 一 条 直 线 上 的 A,B,C 三 点 进 行 测 量 , 已 知 50AB m , 120BC m ,于 A 处测得水深 80AD m ,于 B 处测得水深 200BE m ,于 C 处测得水深 110CF m ,求∠DEF 的余弦值｡ 【解析】:作 //DM AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. 2 2 2 230 170 10 198DF MF DM     , 2 2 2 250 120 130DE DN EN     , 2 2 2 2( ) 90 120 150EF BE FC BC      在 DEF 中,由余弦定理, 2 2 2 2 2 2130 150 10 298 16cos 2 2 130 150 65 DE EF DFDEF DE EF           18．已知 5 1cossin   ， ),2(   ， 求（1）sin cos  （2） 3 3sin cos  （3） 4 4sin cos  【解析】：（1） 3 3 4 47 91 337sin cos (2)sin cos (3)sin cos5 125 625            19．已知函数 )sin(   xAy （ 0A ， 0  ，  || ）的一段图象 如图所示， （1）求函数的解析式； （2）求这个函数的单调递增区间。 【解析】：（1）由图象可知： 3 22 28 8T T                 ；  2 2 22A    ∴  2sin 2y x   ，又∵ 28     ， 为“五点画法”中的第二点 ∴ 32 8 2 4             ∴所求函数解析式为： 32sin 2 4y x      （2）∵当  32 2 24 2 2x k k k Z            ， 时，  f x 单调递增 ∴  5 52 2 24 4 8 8x k k x k k k Z                           ， ， 20．已知 ABC 的内角 A． B．C 所对边分别为 a、b、c，设向量 )2cos),cos(1( BABAm  ， )2cos,8 5( BAn  ，且 8 9 nm . （Ⅰ）求 BA tantan  的值； （Ⅱ）求 222 sin cba Cab  的最大值. 【解析】（Ⅰ）由 8 9 nm ，得 8 9 2cos)]cos(1[8 5 2  BABA 即 8 9 2 )cos(1)]cos(1[8 5  BABA 也即 )cos(5)cos(4 BABA  ∴ BABABABA sinsin5coscos5sinsin4coscos4  ∴ BABA coscossinsin9  ∴ 9 1tantan BA 21．已知函数 )]42sin(21)[tan1()(  xxxf ，求： （1）函数 )(xf 的定义域和值域； （2）写出函数 )(xf 的单调递增区间。 【解析】:            4sin2cos24cos2sin21cos sin1)(  xxx xxf  xxxx x 2cos2cossin2cos sin1         xxxx sincossincos2  )sin(cos2 22 xx  x2cos2 （Ⅰ）函数的定义域    ZkkxRxx ,2,|  Zkkx  ,22  ,22cos2  x 函数 )(xf 的值域为  2,2 （Ⅱ）令 )(,222 Zkkxk   得 )(2 Zkkxk   ∴函数 )(xf 的单调递增区间是 )(,2 Zkkk       22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为 4.8m，圆上最低点与地面距 离为 0.8m，60 秒转动一圈．途中 OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针 转动 角到 OB ．设 B 点与地面距离为 h ． （1）求 h 与 的函数解析式； （2）设从 OA 开始转动，经过 80 秒到达OB ，求 h . 【解析】：（1）∵ 0.8 0.8 4.8 sin 5.6 4.8sin( 90 )h OA BC OB            ， ∴ 5.6 4.8cos ( 0)h     （2）∵ 2 60 30     ， t30   ，∴ 3 88030   ， 83 8cos8.46.5  h (m) 23．设函数 ).2sin3,(cos),1,cos2(,)( mxxxxf  baba 其中向量 （1）求函数 ],0[)( 的最小正周期和在xf 上的单调递增区间； （2）当 mxfx 求实数恒成立时 ,4)(4,]6,0[   的取值范围。 【解析】：（1） 1)62sin(22sin3cos2)( 2  mxmxxxf  ， 分上单调递增区间为在 分的最小正周期函数 6].,3 2[],6,0[],0[ 4.2 2)(      Txf （2）当 3)(,6,)(,]6,0[ max  mxfxxfx 时当递增时   ， 分得解之 分由题设知 分时当 12.16, 10,42 ,43 8,2)(,0 min           m m m mxfx 24．已知函数 2 π( ) 2sin 3 cos24f x x x      ， π π 4 2x      ， ． （1）求 )(xf 的最大值和最小值； （2） 2)(  mxf 在 π π 4 2x      ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围． 【解析】（Ⅰ） π( ) 1 cos 2 3 cos2 1 sin 2 3 cos22f x x x x x             ∵ π1 2sin 2 3x      ． 又 π π 4 2x      ，∵ ， π π 2π26 3 3x ∴ ≤ ≤ ， 即 π2 1 2sin 2 33x     ≤ ≤ ， max min( ) 3 ( ) 2f x f x ，∴ ． （Ⅱ） ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2f x m f x m f x      ∵ ， π π 4 2x      ， ， max( ) 2m f x ∴ 且 min( ) 2m f x  ， 1 4m ∴ ，即 m 的取值范围是 (1 4)， ． 25．在锐角△ABC 中,角 A． B．C 的对边分别为 a、b、c,已知 .3tan)( 222 bcAacb  (I)求角 A; (II)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值｡ 【解析】:(I)由已知得 2 3sin2 3 cos sin 2 222 AA A bc acb  又在锐角△ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣 1 分] (II)因为 a=2,A=60°所以 bcAbcSbccb 4 3sin2 1,422  而 424222  bcbcbcbccb 又 344 3 4 3sin2 1  bcAbcS 所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3 26．甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为 15 2 浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的 B 岛出发,朝北偏东θ( )2 1arctg 的方向作匀速直线航 行,速度为 10 5 浬/小时.(如图所示) (Ⅰ)求出发后 3 小时两船相距多少浬? (Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬? 【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2). ,5 5sin,5 52cos,2 1 2 15 1545cos215 11 1        可得由 分则 arctg txy ttx   分5402040cos510 10sin510 2 2   tty ttx   (I)令 3t ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20) 345850)2045()3045(|| 22 PQ . 即两船出发后 3 小时时,相距 345 锂 (II)由(I)的解法过程易知: 220800)4(50160040050 10)154020()1510()()(|| 22 222 12 2 12   ttt ttttyyxxPQ 分 ∴当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 2 即两船出发 4 小时时,相距 20 2 海里为两船最近距离. 27．在锐角 ABC 中，已知内角 A． B．C 所对的边分别为 a、b、c，且 (tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B． (1)若 a2－ab＝c2－b2，求 A． B．C 的大小； (2)已知向量 m ＝(sinA，cosA)， n ＝(cosB，sinB)，求｜3 m －2 n ｜的取值范围． 【解析】 28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AO C．小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 AD DC， ，且拐弯处的转角为 120 ．已知某人从C 沿CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用 了 6 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径OA 的长 （精确到 1 米）． 【解析】解法一：设该扇形的半径为 r 米. 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），∠CDO= 060 在 CDO 中， 2 2 0 22 cos60 ,CD OD CD OD OC      即    22 21500 300 2 500 300 ,2r r r        解得 4900 44511r   （米） 解法二：连接 AC，作 OH⊥AC，交 AC 于 H 由题意，得 CD=500（米），AD=300（米）， 0120CDA  2 2 2 0 2 2 2 , 2 cos120 1500 300 2 500 300 700 ,2 ACD AC CD AD CD AD              在 中 120 0 O C A D H 120 0 O C A Ｄ ∴ AC=700（米） 2 2 2 11cos .2 14 AC AD CDCAD AC AD      在直角 11, 350 ,cos 0 ,14HAO AH HA   中 （米） ∴ 4900 445cos 11 AHOA HAO    （米） 29．已知角 的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点 ( 3, 3)P  . (1)求 tan 的值; (2)定义行列式运算 a b c d ad bc  ,求行列式 sin tan 1 cos    的值; (3)若函数 cos( ) sin( ) sin( ) cos xf x x        ( xR ), 求函数 23 ( 2 ) 2 ( )2y f x f x   的最大值,并指出取到最大值时 x 的值 【解析】:(1)∵ 角 终边经过点 ( 3, 3)P  , ∴ 3tan 3    . (2) 1sin 2   , 3cos 2    . sin tan 3 3 3sin cos tan1 cos 4 3 12            . (3) ( ) cos( )cos sin( )sin cosf x x x x        ( xR ), ∴函数 23cos( 2 ) 2cos2y x x   3sin 2 1 cos2x x   2sin(2 ) 16x    ( xR ), ∴ max 3y  , 此时 ( )6x k k   Z . 30．已知函数 2( ) (sin cos ) +cos2f x x x x  . (Ⅰ)求函数  f x 的最小正周期;(Ⅱ)当 0, 2x     时,求函数  f x 的最大值,并写出 x 相应的取值. 【解析】:(Ⅰ)因为 2 2 2( ) (sin cos ) +cos2 sin 2sin cos cos cos2 f x x x x x x x x x      1 sin 2 cos2 x x   ( ) =1+ 2 sin(2 )4x  所以, 2 2T    ,即函数 ( )f x 的最小正周期为 (Ⅱ)因为 0 2x   ,得 524 4 4x     ,所以有 2 sin(2 ) 12 4x     1 2 sin(2 ) 24x     ,即 0 1 2 sin(2 ) 1 24x      所以,函数  f x 的最大值为1 2 此时,因为 524 4 4x     ,所以, 2 4 2x    ,即 8x 