【数学】2019届一轮复习北师大版综合法，分析法，反证法学案 4页

‎ 2019年高考数学总复习 ‎ ‎ 综合法，分析法与反证法 ‎1．综合法 ‎(1)定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．‎ ‎(2)框图表示 →→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．‎ ‎2．分析法 ‎(1)定义 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．‎ ‎(2)框图表示 →→→…→.‎ ‎3．反证法 我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．‎ 反证法的证题步骤是 (1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．‎ 考点一。综合法 ‎（1）已知 证明 由已知 。‎ ‎（2）设、、是互不相等的正数，求证 。‎ 证明 ∵ ，， ∴ ，‎ ‎∵ ，同理 ，‎ ‎，‎ ‎∴ 。‎ ‎（3）设a、b、c均为正数，求证 。‎ 证明 ，同理 ‎ 则。‎ ‎（4）设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1， 证明 (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1.‎ 证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 又(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ 考点二。分析法 ‎（1）a、b、c>0,，求证 。‎ 证明 原式，‎ ‎∴=。‎ ‎（2）设。‎ 证明 要证，只需证，‎ 只需证 ‎，‎ 不等式成立。‎ ‎（3）已知a>0，求证 －≥a＋－2.‎ 证明 要证 －≥a＋－2， 只需要证 ＋2≥a＋＋.‎ 因为a>0，故只需要证( ＋2)2≥(a＋＋)2，即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，‎ 从而只需要证2 ≥(a＋)，只需要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，故原不等式成立．‎ 考点三。反证法 命题点1　证明否定性命题 ‎（1）已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证 不成等差数列。‎ 证明 假设成等差数列，又a,b,c成等比数列，‎ 则与假设矛盾，则不成等差数列。‎ （2） 已知函数，求证 方程f(x)=0没有负数根。‎ 证明 假设方程f(x)=0有负数根，即x<0且x-1,‎ 与假设矛盾，则f(x)=0没有负数根。‎ ‎（3）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证 数列{an}中任意三项不可能成等差数列．‎ ‎(1)解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.‎ ‎(2)证明 假设存在三项成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p