高中数学第一章空间向量与立体几何1-2-4二面角课件新人教B版选择性必修第一册 1 33页

1 . 2 . 4 　 二面角 核心 素养 1 . 掌握二面角的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解二面角的平面角的含义 . ( 直观想象、逻辑推理 ) 3 . 会用向量法解决二面角的计算问题 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 地球绕太阳公转的轨道平面称为 “ 黄道面 ”, 黄道面与地球赤道面的交角 ( 二面角的平面角 ) 为 23 ° 26 '. 黄道面与天球相交的大圆称为 “ 黄道 ” . 黄道及其附近的南北宽 9 ° 以内的区域称为黄道带 , 太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内 . 黄道带内有十二个星座 , 称为 “ 黄道十二宫 ” . 从春分 ( 节气 ) 点起 , 每 30 ° 便是一宫 , 并冠以星座名 , 如白羊座、狮子座、双子座等等 , 这便是星座的由来 . 激趣诱思 知识点拨 1 . 二面角及其 度量 激趣诱思 知识点拨 微练习 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 平面 B 1 C 1 DA 与平面 BCDA 所成二面角的大小为 　　　　 .   答案 : 45 ° 微思考 两个平面相交时 , 它们所成角的取值范围是什么 ? 提示 : (0 ° ,90 ° ] 激趣诱思 知识点拨 2 . 用空间向量求二面角的大小 (1) 如果 n 1 , n 2 分别是平面 α 1 , α 2 的一个法向量 , 设 α 1 与 α 2 所成角的大小为 θ , 则有 θ =< n 1 , n 2 > 或 θ = π -< n 1 , n 2 > , 特别地 ,sin θ = sin < n 1 , n 2 > . (2) 设二面角 α -l- β 为 θ , 平面 α , β 的法向量分别为 n 1 , n 2 , 激趣诱思 知识点拨 名师点析 利用公式 cos < n 1 , n 2 >= ( n 1 , n 2 分别为两平面的法向量 ) 进行求解 , 注意 < n 1 , n 2 > 与二面角大小的关系 , 是相等还是互补 , 需结合图形进行判断 . 如图 (2)(4) 中 < n 1 , n 2 > 就是二面角 α -l- β 的平面角的补角 ; 如图 (1)(3) 中 < n 1 , n 2 > 就是二面角 α -l- β 的平面角 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角 . ( 　　 ) (2) 若二面角两个半平面的法向量的夹角为 120 ° , 则该二面角的大小等于 60 ° 或 120 ° . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2) √ 激趣诱思 知识点拨 微练习 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 点 E 为 BB 1 的中点 , 则平面 A 1 ED 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 ( 　　 ) 激趣诱思 知识点拨 解析 : 答案 : B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 二面角的平面角问题 例 1 如 图所示 , PC ⊥ 平面 ABC , AB=BC=CA=PC , 求二面角 B-PA-C 的平面角的正切值 . 分析 由 PC ⊥ 平面 ABC , 知平面 ABC ⊥ 平面 PAC , 从而 B 在平面 PAC 上的射影在 AC 上 , 由此可用三垂线定理作出二面角的平面角 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : ∵ PC ⊥ 平面 ABC , ∴ 平面 PAC ⊥ 平面 ABC , 交线为 AC. 作 BD ⊥ AC 于 D 点 , 据面面垂直性质定理 , BD ⊥ 平面 PAC , 作 DE ⊥ PA 于 E 点 , 连接 BE , 据三垂线定理 , 则 BE ⊥ PA , 从而 ∠ BED 是二面角 B-PA-C 的平面角 . 设 PC=a , 依题意知 △ ABC 是边长为 a 的正三角形 , 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后 , 再用解三角形的方法来求解 . 2 . 二面角的定义求法主要有 : (1) 由定义作出二面角的平面角 ; (2) 利用三垂线定理 ( 逆定理 ) 作出二面角的平面角 ; (3) 作二面角棱的垂面 , 则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如图 , 已知二面角 α -a- β 等于 120 ° , PA ⊥ α , A ∈ α , PB ⊥ β , B ∈ β , 求 ∠ APB 的大小 . 解 : 设平面 PAOB ∩ α =OA , 平面 PAOB ∩ β =OB. ∵ PA ⊥ α , a ⊂ α , ∴ PA ⊥ a. 同理 PB ⊥ a. ∴ a ⊥ 平面 PAOB. 又 ∵ OA ⊂ 平面 PAOB , ∴ a ⊥ OA. 同理 a ⊥ OB. ∴∠ AOB 是二面角 α -a- β 的平面角 . 在四边形 PAOB 中 , ∠ AOB= 120 ° , ∠ PAO= ∠ PBO= 90 ° , 所以 ∠ APB= 60 ° . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用空间向量求二面角 例 2 如图 , 四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的所有棱长都相等 , AC ∩ BD=O , A 1 C 1 ∩ B 1 D 1 =O 1 , 四边形 ACC 1 A 1 和四边形 BDD 1 B 1 均为矩形 . (1) 证明 : O 1 O ⊥ 底面 ABCD ; (2) 若 ∠ CBA= 60 ° , 求二面角 C 1 -OB 1 -D 的余弦值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 因为四边形 ACC 1 A 1 和四边形 BDD 1 B 1 均为矩形 , 所以 CC 1 ⊥ AC , DD 1 ⊥ BD , 又 CC 1 ∥ DD 1 ∥ OO 1 , 所以 OO 1 ⊥ AC , OO 1 ⊥ BD , 因为 AC ∩ BD=O , 所以 O 1 O ⊥ 底面 ABCD. (2) 解 : 因为四棱柱的所有棱长都相等 , 所以四边形 ABCD 为菱形 , AC ⊥ BD , 又 O 1 O ⊥ 底面 ABCD , 所以 OB , OC , OO 1 两两垂直 . 如图 , 以 O 为原点 , OB , OC , OO 1 所在直线分别为 x , y , z 轴 , 建立空间直角坐标系 . 设棱长为 2, 因为 ∠ CBA= 60 ° , 所以 OB = , OC= 1, 所以 O (0,0,0), B 1 ( , 0,2), C 1 (0,1,2), 平面 CB 1 D 的一个法向量为 n = (0,1,0), 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用向量方法求二面角的大小时 , 多采用求法向量的方法 , 即求出两个面的法向量 , 然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小 , 但利用这种方法求解时 , 要注意结合图形观察分析 , 确定二面角是锐二面角还是钝二面角 , 不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 如果本例条件不变 , 求二面角 B-A 1 C-D 的余弦值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图所示 , 在几何体 S-ABCD 中 , AD ⊥ 平面 SCD , BC ⊥ 平面 SCD , AD=DC= 2, BC= 1, 又 SD= 2, ∠ SDC= 120 ° , 求平面 SAD 与平面 SAB 所成角的余弦值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : 如图 , 过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E , 以 D 为原点 , 以 DC , DE , DA 所在直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 . ∵∠ SDC= 120 ° , ∴∠ SDE= 30 ° , 又 SD= 2, ∴ 点 S 到 y 轴的距离为 1 , 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 用逆向思维解决二面角问题 案例 如图 , 已知四棱台 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形 , A 1 A= 6, 且 A 1 A ⊥ 底面 ABCD , 点 P , Q 分别在棱 DD 1 , BC 上 . (1) 若 P 是 DD 1 的中点 , 证明 : AB 1 ⊥ PQ ; (2) 若 PQ ∥ 平面 ABB 1 A 1 , 二面角 P-QD-A 的余弦值 为 , 求四面体 ADPQ 的体积 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 由题设知 , AA 1 , AB , AD 两两垂直 , 以 A 为坐标原点 , AB , AD , AA 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则相关各点的坐标为 A (0,0,0), B 1 (3,0,6), D (0,6,0), D 1 (0,3,6), Q (6, m ,0), 其中 m=BQ ,0 ≤ m ≤ 6 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 归纳提升 此类问题属于结论探索类问题 . 解决此类问题要注意分析题目的整体结构 , 在此基础上建立空间直角坐标系 , 引入参数 , 将所求问题先转化为一个含参数的方程问题 , 参数确定后其他问题就迎刃而解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 已知平面 α 内有一个以 AB 为直径的圆 , PA ⊥ α , 点 C 在圆周上 ( 异于点 A , B ), 点 D , E 分别是点 A 在 PC , PB 上的射影 , 则 ( 　　 ) A . ∠ ADE 是二面角 A-PC-B 的平面角 B . ∠ AED 是二面角 A-PB-C 的平面角 C . ∠ DAE 是二面角 B-PA-C 的平面角 D . ∠ ACB 是二面角 A-PC-B 的平面角 答案 : B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 已知两平面的法向量分别为 m= (0,1,0), n= (0,1,1), 则两平面所成的二面角为 ( 　　 ) A.45 ° B . 135 ° C.45 ° 或 135 ° D . 90 ° 答案 : C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5 . 在底面为直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中 , ∠ ABC= 90 ° , SA ⊥ 平面 ABCD.SA=AB=BC= 1, AD = , 求平面 SCD 与平面 SAB 所成角的余弦值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测