高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算 6页

3.1.3 空间向量的数量积运算 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和 计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹 角及距离问题． 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB 叫 做向量 a，b 的夹角 记法 范围 ,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？ 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数 量积的结合律 (λa)·b＝________ 交换律 a·b＝______ 分配律 a·(b＋c)＝____________ (3)数量积的性质 两个向 量数量 积的 性质 ①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__________. ②若 a 与 b 同向，则 a·b＝________； 若反向，则 a·b＝________. 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. ③若θ为 a，b 的夹角，则 cos θ＝______ ④|a·b|≤|a|·|b|. 一、选择题 1．设 a、b、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b)·c－(c·a)·b＝0； ②|a|－|b|<|a－b|； ③(b·a)·c－(c·a)·b 不与 c 垂直； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的有( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|等于( ) A. 7 B. 10 C. 13 D．4 4.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E,F 分别是 BC,AD 的中点，则 AE  ·CF→等于( ) A．0 B.1 2 C．－3 4 D．－1 2 5. 如图，已知 PA⊥平面 ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则 PC 等于( ) A．6 2 B．6 C．12 D．144 6．若向量 m 垂直于向量 a 和 b，向量 n＝λa＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A．m∥n B．m⊥n C．m 不平行于 n，m 也不垂直于 n D．以上三种情况都有可能 二、填空题 7．已知 a，b 是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝ 7，则 a 与 b 的夹角为________． 8．若向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为π 3 ，则|a＋b|＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB→－AC→＝BC→； ②AB→＋BC→＋ CA  ＝0； ③(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC→·AB→>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10. 如图，已知在空间四边形 OABC 中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC. 11．在正四面体 ABCD 中，棱长为 a，M、N 分别是棱 AB、CD 上的点，且|MB|＝2|AM|， |CN|＝1 2|ND|，求|MN|. 能力提升 12.平面式 O,A.B 三点不共线，设OA→ ＝a，OB  ＝b，则△OAB 的面积等于( ) A. |a|2|b|2－a·b2 B. |a|2|b|2＋a·b2 C.1 2 |a|2|b|2－a·b2 D.1 2 |a|2|b|2＋a·b2 13. 如图所示，已知线段 AB 在平面α内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，且 AB＝7，AC＝BD＝ 24，线段 BD 与α所成的角为 30°，求 CD 的长． 1．空间向量数量积直接根据定义计算． 2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题： (1)利用 a⊥b⇔a·b＝0 证线线垂直(a，b 为非零向量)．(2)利用 a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos θ ＝ a·b |a|·|b| ，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题． 3．1.3 空间向量的数量积运算 知识梳理 1．〈a，b〉 [0，π] 2．(2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c (3)①a·b＝0 ②|a|·|b| －|a|·|b| ③ a·b |a||b| 作业设计 1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出 a－b，三角形的两边之差小于第三边； ③错，当 b·a＝c·b＝0 时，(b·a)·c－(c·a)·b 与 c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．] 2．A [a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当 a 与 b 反向时， 不能成立．] 3．C [|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.] 4．D [AE→·CF→＝1 2(AB→ ＋AC→)· 1 2 AD AC      ＝1 4 AB→ ·AD→＋1 4 AC→·AD→－1 2 AB→ ·AC→－1 2|AC→|2 ＝1 4cos 60°＋1 4cos 60°－1 2cos 60°－1 2 ＝－1 2.] 5．C [∵PC→＝PA→＋AB→＋BC→， ∴|PC→|2＝(PA→＋AB→＋BC→)2 ＝PA→2＋AB→2＋BC→2＋2PA→·AB→＋2PA→·BC→＋2AB→·BC→＝108＋2×6×6×1 2 ＝144，∴|PC→|＝12.] 6．B [由题意 m⊥a，m⊥b，则有 m·a＝0，m·b＝0， m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0， ∴m⊥n.] 7．60° 解析 由|a－b|＝ 7，得(a－b)2＝7， 即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6， ∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝1 2 ，〈a，b〉＝60°.即 a 与 b 的夹角为 60°. 8. 7 解析 |a＋b|＝ a2＋2a·b＋b2 ＝ 1＋2×2×1 2 ＋4＝ 7. 9．②③ 解析 ①错，AB→－AC→＝CB→；②正确；③正确，|AB→|＝|AC→|；④错，△ABC 不一定是锐角三角 形． 10．证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB. ∵OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→ ) ＝OA→·OC→－OA→·OB→ ＝|OA→||OC→|cos∠AOC－|OA→||OB→ |·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC. 11．解 如图所示，|AB→|＝|AC→|＝|AD→|＝a，把题中所用到的量都用向量AB→、AC→、AD→表示，于是MN→＝MB→＋ BC→＋CN→ ＝2 3 AB→＋(AC→－AB→)＋1 3(AD→－AC→)＝－1 3 AB→＋1 3 AD→＋2 3 AC→. 又AD→·AB→＝AB→·AC→＝AC→·AD→ ＝|AD→|2cos 60°＝1 2|AD→|2＝1 2a2， ∴MN→·MN→＝ 1 1 2 3 3 3AB AD AC         · 1 1 2 3 3 3AB AD AC         ＝1 9 AB→2－2 9 AD→·AB→－4 9 AB→·AC→＋4 9 AC→·AD→＋1 9 AD→2＋4 9 AC→2＝1 9a2－1 9a2＋1 9a2＋4 9a2＝5 9a2. 故|MN→|＝ MN MN  ＝ 5 3 a，即|MN|＝ 5 3 a. 12. C [如图所示， S△OAB＝1 2|a||b|·sin〈a，b〉 ＝1 2|a||b| 1－ cos〈a，b〉 2 ＝1 2|a||b| 1－ a·b |a||b| 2 ＝1 2|a||b| |a|2|b|2－ a·b 2 |a|2|b|2 ＝1 2 |a|2|b|2－ a·b 2.] 13. 解 由 AC⊥α，可知 AC⊥AB， 过点 D 作 DD1⊥α，D1 为垂足， 连结 BD1，则∠DBD1 为 BD 与α所成的角，即∠DBD1＝30°， ∴∠BDD1＝60°， ∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1， ∴〈CA→，DB→〉＝60°，∴〈CA→，BD→〉＝120°. 又CD→＝CA→＋AB→＋BD→， ∴|CD→|2＝(CA→＋AB→＋BD→)2 ＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2AB→·BD→∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BD→·AB→＝0，AC→·AB→＝0. 故|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·BD→ ＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625， ∴|CD→|＝25.