高中数学第一章空间向量与立体几何1-2-5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册 1 35页

1 . 2 . 5 　 空间中的距离 核心 素养 1 . 理解图形与图形之间的距离的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解并掌握两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念及它们之间的相互转化 , 会用法向量求距离 . ( 直观想象、数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在生活中可以看到很多道路上都有限高杆 . 主要的作用就是为了防止过高的车辆通过 , 以保障车辆和路上的设备设施的安全 . 比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道 , 或者涵洞 , 或者附近有高速路桥、铁路桥等 . 图中所示 , 限高 3 . 1 米 , 同学们 , 你知道 3 . 1 m 指的哪段距离 , 数学中的距离是如何定义的呢 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 空间中两点之间的 距离 微练习 若已知点 A (1,1,1), B ( - 3, - 3, - 3), 则线段 AB 的长为 ( 　　 ) 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 2 . 点到直线的距离 n 0 是直线 l 的单位方向向量 , A ∈ l , 则点 P 到直线 l 的 距离 微判断 直线 l 外一点 A 到直线 l 的距离就是在直线 l 上任取一点 B , 点 A 与点 B 之间线段的长度 . ( 　　 ) 答案 : × 激趣诱思 知识点拨 3 . 点到平面的距离 一般地 , 若 A 是平面 α 外一点 , B 是平面 α 内一点 , n 是平面 α 的一个法向量 , 则点 A 到平面 α 的 距离 微判断 平面 α 外一点 A 到平面 α 的距离 , 就是点 A 与平面内一点 B 所成 向量 的长度 . ( 　　 ) 答案 : × 激趣诱思 知识点拨 微 练习 已知平面 α 的一个法向量 n = ( - 2, - 2,1), 点 A ( - 1,3,0) 在 α 内 , 则 P ( - 2,1,4) 到 α 的距离为 ( 　　 ) 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 4 . 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1) 如果直线 l 与平面 α 平行 , n 是平面 α 的一个法向量 , A , B 分别是 l 上和 α 内的点 , 则直线 l 与平面 α 之间的距离 为 (2) 如果平面 α 与平面 β 平行 , n 是平面 β 的一个法向量 ( 当然也是平面 α 的一个法向量 ), A 和 B 分别是平面 α 与平面 β 内的点 , 则平面 α 与平面 β 之间的距离 为 名师 点析 解决立体几何问题的三种方法 1 . 综合方法 : 以逻辑推理作为工具解决问题 . 2 . 向量方法 : 利用向量的概念及其运算解决问题 . 3 . 坐标方法 : 建立直角坐标系 , 利用坐标表示几何对象或向量 , 通过运算解决几何问题 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 直线 l ∥ 平面 α , 则直线 l 到平面 α 的距离就是直线 l 上的点到平面 α 的距离 . ( 　　 ) (2) 若平面 α ∥ 平面 β , 则两平面 α , β 的距离可转化为平面 α 内某条直线到平面 β 的距离 , 也可转化为平面 α 内某点到平面 β 的距离 . ( 　　 ) 答案 : (1) √ 　 (2) √ 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知平面 α ∥ 平面 β , 直线 l ⊂ α , α 与 β 之间的距离为 d , 有下列四个命题 : ① β 内有且仅有一条直线与 l 的距离为 d ; ② β 内所有的直线与 l 的距离都等于 d ; ③ β 内有无数条直线与 l 的距离为 d ; ④ β 内所有直线与 α 的距离都等于 d. 其中真命题是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　 A . ① B . ② C . ①④ D . ③④ 解析 : 在直线 l 上任取一点 O , 过 O 作 OA ⊥ β 于 A , 在平面 β 内 , 与 l 不平行的所有直线与 l 距离都是 d , 否则不一定是 d , 所以 ①② 错误 , 故选 D . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求两点间的距离 例 1 已知在矩形 ABCD 中 , AB= 4, AD= 3, 沿对角线 AC 折叠 , 使平面 ABC 与平面 ADC 垂直 , 求点 B , D 之间的距离 . 分析 本题既可利用向量模求解 , 也可建立坐标系利用距离公式求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解法二 过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E , 过点 B 作 BF ⊥ AC 于点 F , 过点 E 作 FB 的平行线 EP , 以 E 为坐标原点 , EP , EC , ED 所在直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 , 如图 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将例 1 中条件 “ 使平面 ABC 与平面 ADC 垂直 ” 变为 “ 使平面 ABC 与平面 ADC 重叠 ”, 则结论又如何 ? 解 : 当改变条件后 , 就变为了平面几何问题 , 如图所示 , BD=EF , 又由例 1 中结论可知 BD=AC- 2 AE = . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如图 , 正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的各棱长都是 2, E , F 分别是 AB , A 1 C 1 的中点 , 则 EF 的长是 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求点到直线的距离 例 2 如 图 , 在空间直角坐标系中 , 有长方体 ABCD-A'B'C'D' , AB= 1, BC= 2, AA'= 3, 求点 B 到直线 A'C 的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决 , 但这两类解法技巧性强 . 用向量法就避免了这一构造技巧 , 但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点 , 然后用向量计算公式解决 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 棱长为 2, E , F 分别是 C 1 C , D 1 A 1 的中点 , 求点 A 到 EF 的距离 . 解 : 以 D 点为原点 , DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系如图所示 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 点到平面的距离 例 3 如图 , 已知正方形 ABCD 的边长为 1, PD ⊥ 平面 ABCD , 且 PD= 1, E , F 分别为 AB , BC 的中点 . (1) 求点 D 到平面 PEF 的距离 ; (2) 求直线 AC 到平面 PEF 的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用向量法求点到面的距离关键还是建系 , 其次是法向量的求解 . 本例中还要注意 P , E , F , H 共面这一条件 , 因此有 x+y+z= 1 这一隐含条件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图 , 正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的所有棱长都为 2, D 为 CC 1 的中点 . (1) 求证 : AB 1 ⊥ A 1 D ; (2) 求点 C 到平面 A 1 BD 的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 如图 , 取 BC 的中点 O , 连接 AO. ∵ △ ABC 为等边三角形 , ∴ AO ⊥ BC. ∵ 在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1 B 1 , ∴ AO ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 思想方法 —— 向量法求解线面距问题 案例 已知边长为 4 的正三角形 ABC , E , F 分别为 BC 和 AC 的中点 .PA= 2, 且 PA ⊥ 平面 ABC , 设 Q 是 CE 的中点 . (1) 求证 : AE ∥ 平面 PFQ ; (2) 求 AE 与平面 PFQ 间的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 如图所示 , 以 A 为坐标原点 , 平面 ABC 内垂直于 AC 边的直线为 x 轴 , AC 所在直线为 y 轴 , AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 . ∵ AP= 2, AB=BC=AC= 4, 又 E , F 分别是 BC , AC 的中点 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 归纳提升 1 . 本题 (1) 通过向量运算证明线面平行 ,(2) 中利用线面距转化为点面距 , 选择向量运算来解 . 合理选择运算方法 , 设计运算程序 , 有利于提升学生的数学运算素养 . 2 . 此类问题综合体现了用向量解决距离问题的便捷性 . 虽然有些计算较复杂 , 但思路很简捷 , 省去了很多辅助线的构造 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直 , 且满足 PA=PB=PC= 1, 则点 P 到平面 ABC 的距离是 ( 　　 ) 解析 : 分别以 PA , PB , PC 所在直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 , 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 已知直线 l 经过点 A (2,3,1), 且向量 n = (1,0, - 1) 所在直线与 l 垂直 , 则点 P (4,3,2) 到 l 的距离为 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2, E , F , G 分别是 C 1 C , D 1 A 1 , AB 的中点 , 则点 A 到平面 EFG 的距离为 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : 建系如图 , 则 A (2,0,0 ),