2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第三章　空间向量与立体几何 单元质量评估（二） 17页

第三章单元质量评估(二) 时限：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．对于空间向量，有以下命题： ①单位向量的模为 1，但方向不确定；②如果一个向量和它的相 反向量相等，那么该向量的模为 0；③若 a∥b，b∥c，则 a∥c；④若 六面体 ABCDA′B′C′D′为平行六面体，则AB →＝D′C′→ . 其中真命题的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①为真命题，模为 1 的向量叫单位向量，其方向不唯一； ②为真命题，相反向量的模相等且方向相反，所以如果一个向量和它 的相反向量相等，那么该向量为零向量，模为 0；③为假命题，当 b 为零向量时，不符合；④为真命题，AB →与D′C′→ 方向相同且大小相 等，所以是相等向量． 2．已知空间四边形 ABCD 中，G 为 CD 的中点，则AB →＋1 2(BD → ＋ BC → )等于( A ) A.AG → B.CG → C.BC → D.1 2BC → 3．在四面体 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π 3 ，则 cos 〈OA → ，BC →〉＝( A ) A．0 B. 2 2 C．－1 2 D.1 2 解析：本题主要考查异面直线垂直的判断方法以及向量数量积的 运算.OA → ·BC → ＝OA → ·(OC → －OB → )＝OA → ·OC → －OA → ·OB → ＝|OA → |·|OC → |cos60°－ |OA → |·|OB → |cos60°＝0，故选 A. 4．已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b) ⊥c，则 x 等于( B ) A．4 B．－4 C.1 2 D．－6 5．已知空间三点 A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若AP →∥BC →， 且|AP → |＝ 14，则点 P 的坐标为( C ) A．(4，－2,2) B．(－2,2,4) C．(4，－2,2)或(－2,2,4) D．(－4,2，－2)或(2，－2,4) 解析：∵AP →∥BC →，∴可设AP →＝λBC → .易知BC →＝(3，－2，－1)，则 AP →＝(3λ，－2λ，－λ)．又|AP → |＝ 14， ∴ 3λ2＋－2λ2＋－λ2＝ 14，解得λ＝±1.∴AP →＝(3，－2，－ 1)或AP →＝(－3,2,1)．设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP →＝(x－1，y，z － 3) ， ∴ x－1＝3， y＝－2， z－3＝－1 或 x－1＝－3， y＝2， z－3＝1， 解 得 x＝4， y＝－2， z＝2 或 x＝－2， y＝2， z＝4. 故点 P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)． 6．已知△ABC 的三个顶点 A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则 BC 边上的中线 AD 的长为( B ) A．2 B．3 C.64 7 D.65 7 解析：∵BC 的中点 D 的坐标为(2,1,4)，∴AD → ＝(－1，－2,2)，∴ |AD → |＝ 1＋4＋4＝3. 7．在直角坐标系 xOy 中，设 A(2,2)，B(－2，－3)，沿 y 轴把坐 标平面折成 120°的二面角后，AB 的长是( A ) A. 37 B．6 C．3 5 D. 53 解析：过 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC → |＝2， |BD → |＝2，|CD → |＝5，〈AC →，DB → 〉＝60°， 所以 AB → 2＝(AC →＋CD → ＋DB → )2＝AC → 2＋CD → 2＋DB → 2＋2AC → ·DB → ＝4＋25 ＋4＋2×2×2cos60°＝37. |AB → |＝ 37.故选 A. 8．已知空间三点 O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线 OA 上 有一点 H 满足 BH⊥OA，则点 H 的坐标为( C ) A．(－2,2,0) B．(2，－2,0) C. －1 2 ，1 2 ，0 D. 1 2 ，－1 2 ，0 解析：由OA → ＝(－1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(－λ，λ， 0)，则BH → ＝(－λ，λ－1，－1)．又 BH⊥OA，∴BH → ·OA → ＝0，即(－λ， λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝1 2 ，∴H －1 2 ，1 2 ，0 ， 故选 C. 9．已知 O 为平面上的定点，A，B，C 是平面上不共线的三点， 若(OB → －OC → )·(OB → ＋OC → －2OA → )＝0，则△ABC 是( B ) A．以 AB 为底边的等腰三角形 B．以 BC 为底边的等腰三角形 C．以 AB 为斜边的直角三角形 D．以 BC 为斜边的直角三角形 解析：(OB → －OC → )·(OB → ＋OC → －2OA → )＝0⇔CB → ·(AB →＋AC → )＝0，则△ ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，故选 B. 10．直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1， 则异面直线 BA1 与 AC1 所成角为( C ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB＝1，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)， ∴BA1 → ＝(－1,0,1)，AC1 → ＝(0,1,1)． ∴cos〈BA1 → ，AC1 → 〉＝ BA1 → ·AC1 → |BA1 → ||AC1 → | ＝ 1 2× 2 ＝1 2. ∴〈BA1 → ，AC1 → 〉＝60°，即异面直线 BA1 与 AC1 所成角为 60°. 11.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为( B ) A．－ 10 5 B. 10 5 C．－ 15 5 D. 15 5 解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)． 所以BD → ＝(－2，－2,0)，BB1 → ＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面 B1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)． 因为 n⊥BD → ，n⊥BB1 → ，所以 －2x－2y＝0， 2z＝0. 所以 x＝－y， z＝0. 令 y＝1，则 n＝(－1,1,0)． 所以 cos〈n，BE →〉＝ n·BE → |n||BE → | ＝ 10 5 ，设直线 BE 与平面 B1BD 所成 角为θ，则 sinθ＝|cos〈n，BE →〉|＝ 10 5 .故选 B. 12．如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB ＝AC＝AA1＝1，已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别 为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点)，若 GD⊥EF，则线段 DF 的 长度的取值范围为( A ) A. 5 5 ，1 B. 3 2 4 ， 5 2 C. 5 5 ， 2 D．[ 2， 3] 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，E 1，0，1 2 ， G 0，1 2 ，1 ，设 D(x,0,0)，F(0，y,0)， 0