【数学】2019届一轮复习北师大版　统计与统计案例学案 13页

第1讲　统计与统计案例 概率与统计 考向预测 ‎1.抽样方法、样本的数字特征、统计图表、回归分析与独立性检验主要以选择题、填空题形式命题，难度较小；‎ ‎2.注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析与概率是近年命题的热点.‎ 知识与技巧的梳理 ‎1.抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.‎ ‎2.统计中的四个数据特征 ‎(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.‎ ‎(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.‎ ‎(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn).‎ ‎(4)方差与标准差.‎ s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，‎ s＝.‎ ‎3.直方图的两个结论 ‎(1)小长方形的面积＝组距×＝频率.‎ ‎(2)各小长方形的面积之和等于1.‎ ‎4.回归分析与独立性检验 ‎(1)回归直线＝x＋经过样本点的中心点(，)，若x取某一个值代入回归直线方程＝x＋中，可求出y的估计值.‎ ‎(2)独立性检验 对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d n 则K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量).‎ 热点题型 热点一　用样本估计总体 ‎【例1】 (2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.‎ 解　(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.‎ 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.‎ 由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.‎ ‎(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.‎ 由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.‎ ‎(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85.‎ 所以2.5≤x<3.‎ 由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.‎ 探究提高　在本例中，抓住频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，这是求解的关键；本题易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.‎ ‎【训练1】 (2017·北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；‎ ‎(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ 解　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，‎ 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为 ‎(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，‎ 分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.‎ 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.‎ ‎(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 ‎(0.02＋0.04)×10×100＝60，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30.‎ 所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.‎ 热点二　回归分析与独立性检验 ‎【例2】 (1)某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：‎ 女 男 总计 喜爱 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不喜爱 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 试根据样本估计总体的思想，估计约有________的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.‎ 参考附表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)‎ ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.‎ 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.‎ ‎①由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎②建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.‎ 回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎(1)解析　分析列联表中数据，可得K2的一个观测值 k＝≈7.822＞6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”.‎ 答案　99%‎ ‎(2)解　①由折线图中的数据和附注中参考数据得 ‎＝4， (ti－)2＝28，＝0.55.‎ (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.‎ ‎②由＝＝1.331及(1)得＝＝≈0.103，‎ ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以，y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.‎ 将2016年对应的t＝9代入回归方程得：＝0.92＋0.10×9＝1.82.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.‎ 探究提高　1.回归直线方程的关键：正确理解计算，的公式和准确地计算.‎ ‎2.独立性检验的关键：根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·贵阳调研)某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918.‎ 附表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过(　　)‎ A.95% B.5% C.97.5% D.2.5%‎ ‎(2)(2017·唐山一模)某市春节期间7家超市的广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下：‎ 超市 A B C D E F G 广告费支出xi ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎19‎ 销售额yi ‎19‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎52‎ ‎53‎ ‎54‎ ‎①若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎②用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝12ln x＋22，‎ 经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.‎ 参数数据及公式：＝8，＝42，xiyi＝2 794，x＝708，‎ ‎(1)解析　∵k≈3.918>3.841，且P(K2≥k0＝3.841)＝0.05，根据独立性检验思想“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过5%.‎ 答案　B ‎(2)解　①∵＝8，＝42，xiyi＝2 794，x＝708.‎ 因此＝－＝42－1.7×8＝28.4.‎ 所以，y关于x的线性回归方程是＝1.7x＋28.4.‎ ‎②∵0.75<0.97，‎ ‎∴对数回归模型更合适.‎ 当x＝8时，＝12ln 8＋22＝36ln 2＋22＝36×0.7＋22＝47.2万元.‎ ‎∴广告费支出8万元时，预测A超市销售额为47.2万元.‎ ‎（45分钟）‎ 限时训练 经典常规题 ‎1.(2017·全国Ⅰ卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)‎ A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 ‎【解题思路】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.‎ ‎【答案】B ‎2.(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)‎ A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 ‎【解题思路】根据图示可得各月份的气温数据.‎ ‎【答案】根据雷达图可知全年最低气温都在0 ℃以上，故A正确；一月平均最高气温是6 ℃左右，平均最低气温2 ℃左右，七月平均最高气温22 ℃左右，平均最低气温13 ℃左右，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；三月和十一月的平均最高气温都是10 ℃，三月和十一月的平均最高气温基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的有七月和八月，D项不正确.故选 D.‎ ‎3.(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，‎ 设其回归直线方程为＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)‎ A.160 B.163 C.166 D.170‎ ‎【解题思路】由回归直线方程过样本点中心可得.‎ ‎【答案】由已知得＝22.5，＝160， ‎ ‎∵回归直线方程过样本点中心(，)，且＝4，‎ ‎∴160＝4×22.5＋，解得＝70.‎ ‎∴回归直线方程为＝4x＋70，当x＝24时，＝166.故选C.‎ ‎4.(2017·全国Ⅱ卷)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg，估计A的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).‎ 附：K2＝ ‎【解题思路】(1)以其频率代表概率；(2)完成2×2列联表，并计算K2；(3)找出频率分布直方图中平方其面积的位置.‎ ‎【答案】解　(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，‎ C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.‎ 由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).‎ 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，‎ 故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，‎ 故P(C)的估计值为0.66.‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：‎ 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2＝≈15.705.‎ 由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量的频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为：‎ ‎(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，‎ 箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35 (kg).‎ 高频易错题 ‎1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A.7 B.9 C.10 D.15‎ ‎【解题思路】系统抽样也就是等距抽样，找出间距与所分的段数，再确定样本.‎ ‎【答案】抽取号码的间隔为＝30，从而区间[451，750]包含的段数为－＝10，则编号落入区间[451，750]的人数为10人，即做问卷B的人数为10.故选 C.‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是(　　)‎ A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【解题思路】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.‎ ‎【答案】A ‎3.(2017·泉州模拟)某厂在生产甲产品的过程中，产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据如表：‎ x ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ y ‎25‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ 根据最小二乘法求得回归方程为＝0.65x＋，当产量为80吨时，预计需要生产能耗为________吨.‎ ‎【解题思路】由回归直线方程过样本点中心可得.‎ ‎【答案】由题意，＝45，＝36.25，代入＝0.65x＋，可得＝7，∴当产量为80吨时，预计需要生产能耗为0.65×80＋7＝59.故填 59.‎ ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15)‎ ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.‎ ‎【解题思路】(1)以其频率代表概率；(2)根据表格分别确定不同温度时所获利润，再 确定利润大于0时的频率（也就是概率）.‎ ‎【答案】解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.‎ 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；‎ 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；‎ 若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，‎ 所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.‎ 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ 精准预测题 ‎1.(2017·汉中模拟)已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：‎ x ‎－4‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ y ‎－5‎ ‎－3‎ ‎－1‎ ‎－0.5‎ ‎1‎ 根据上述数据得到的回归方程为＝x＋，则大致可以判断(　　)‎ A.>0，>0 B.>0，<0 C.<0，>0 D.<0，<0‎ ‎【解题思路】作出散点图，画出回归直线直观判定>0，<0.‎ ‎【答案】C ‎2.(2017·济南调研)2016年济南地铁正式开工建设，地铁时代的到来能否缓解济南的交通拥堵状况呢？某社团进行社会调查，得到的数据如下表：‎ 男性市民 女性市民 认为能缓解交通拥堵 ‎48‎ ‎30‎ 认为不能缓解交通拥堵 ‎12‎ ‎20‎ 则下列结论正确的是(　　)‎ 附：K2＝ P(K2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”‎ B.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”‎ C.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”‎ D.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”‎ ‎【解题思路】由2×2列联表，可求K2的观测值，k＝≈5.288>3.841.‎ 由统计表P(K2≥3.841)＝0.05，∴有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.‎ ‎【答案】A ‎3.为了研究雾霾天气的治理情况，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________.‎ ‎【解题思路】根据等差数列和等比数列的定义列方程组解出y，z.‎ ‎【答案】由题意可得即解得z＝12或z＝－4(舍去)，故y＝8.‎ 所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4，8，12.‎ 因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为＝.‎ 故乙组城市应抽取的个数为8×＝2.故填 2.‎ ‎4.(2017·赤峰二模)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；‎ ‎(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？‎ ‎【解题思路】(1)取每组的中间值代表这组，平均数；(2)根据题意列出2×2列联表，并计算K2.‎ ‎【答案】解　(1)女性平均使用微信的时间为：0.16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小时).‎ ‎(2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.‎ 由题设条件得列联表 ‎ 微信控 非微信控 总计 男性 ‎38‎ ‎12‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 总计 ‎68‎ ‎32‎ ‎100‎ ‎∴K2＝＝≈2.941>2.706.‎ 所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关.‎