【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案 19页

主题22 坐标系与参数方程 ‎【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识，难度为基础题，分值为10分.‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎ ‎(1)直线过极点 θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴 ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴 ρsin θ＝b.‎ ‎3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r ρ＝2rcos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r ρ＝2rsin θ.‎ ‎4.直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).‎ t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)..‎ ‎5.圆、椭圆的参数方程 ‎(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).‎ ‎(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)‎ ‎【易错点提醒】‎ 1. 将参数方程化为普通方程时忽视参数对变量x、y范围的限定致错.‎ ‎2.应用直线参数方程时，忽视不是直线参数方程的标准形式而用其参数t的几何意义致错.‎ ‎【主题考向】‎ 考向一 曲线的极坐标方程 ‎【解决法宝】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.‎ ‎2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. - ‎ ‎ 例1【四川省德阳市2018届二诊】在平面直角坐标系中，直线 （为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 .‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2） 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.‎ ‎【分析】（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案； （2）由（1）， ，所以 ，即可得到的最大值.‎ 考向二 参数方程及其应用 ‎【解决法宝】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.‎ ‎2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.‎ 例2 【湖南省柳州一中2018届二模】在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线、的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若点、分别在曲线、上，求的最小值.‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的性质可得，曲线的参数方程，利用 即可得的直角坐标方程，化为标准方程后利用三角函数性质可得参数方程；（Ⅱ）设点，先根据辅助角公式以及三角函数的有界性求出的最小值，根据圆的几何性质可得的最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，曲线的参数方程为（是参数），‎ 因为曲线的极坐标方程为，化简可得直角坐标方程 ，即，所以曲线的参数方程为（是参数）‎ ‎（Ⅱ）设点，易知，‎ ‎∴‎ ‎∴时， ‎ ‎∴‎ 考向三 极坐标与参数方程的综合应用 ‎【解决法宝】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. = ‎ 例3【安徽省合肥市2018届二质检】已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线分别交于点， ，且， ， 成等比数列，求的值.‎ ‎【分析】（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程.‎ 设， 对应的参数分别为，则．‎ ‎， ， 成等比数列，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ 解得或（舍去）.‎ ‎【主题集训】‎ ‎1.【河南省中原名校2018届六质评】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若是曲线上两点，求的值.‎ ‎（2）因为在曲线上，‎ 所以， ，‎ 所以.‎ ‎2.【四川省雅安中 2018届下 期第一次月考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．以平面 直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎(1) 求曲线的极坐标方程；‎ ‎(2) 设和交点的交点为， ，求的面积.‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为，消去参数的的直角坐标方程为 ‎ ‎∴的极坐标方程为 ‎ ‎（2）解方程组 ，有得 ‎ ‎ 或 当时， ，当时， ‎ ‎ 和交点的极坐标 ‎ ‎ ‎ 故的面积. ‎ ‎3.【辽宁省瓦房店市2018届一模】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程（为参数），以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求和的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）和交于两点，求点的一个极坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）圆的普通方程为 ，则的极坐标方程为 ‎ 圆的普通方程为 ，则的极坐标方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，则有，解得， ，‎ 所以点的极坐标为 ‎4.【辽宁省辽阳市2018 届一模】在直角坐标系中，圆 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， （）.‎ ‎（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为、， 与的交点为， 求的面积.‎ ‎【解析】（1）因为圆的普通方程为，‎ 把， 代入方程得.‎ 所以的极坐标方程为，‎ 的平面直角坐标系方程为.‎ ‎（2）分别将， 代入，得， .‎ 则的面积为.‎ ‎5.【云南民族大 附中2018届下 期第一次月考】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点， ．以直角坐标系的原点为极点， 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线与曲线的交点的极坐标．‎ ‎【解析】(1)直线的直角坐标方程为 ‎ 所以直线的极坐标方程为 ‎ ‎(2)曲线的普通方程为 ‎ 由，得，即交点的直角坐标为 从而交点的极坐标为 ‎ ‎6.【湖北省长望浏宁四县2018年3月联考】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ‎（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）在以为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线方程为，已知直线与曲线相交于、两点，求．‎ ‎7.【2018届广东省揭阳市一模】在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数, ;现以原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)设和的交点为,求的值．‎ ‎【解析】(1)由曲线的参数方程知, 是以原点O为圆心, 为半径的圆的上半圆,‎ 其极坐标方程为.‎ ‎(2)联立方程= =,‎ 得,‎ 于是=,‎ 解得或,‎ 即的值为,‎ 所以=．‎ ‎8.【山东省枣庄市2018届二模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）若，求直线被曲线截得的线段的长度；‎ ‎（Ⅱ）若，在曲线上求一点，使得点到直线的距离最小，并求出最小距离.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由.解得或，‎ 直线被曲线截得的线段的长度为.‎ ‎（Ⅱ） 时，直线的普通方程为. = ‎ 由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线 的距离为 ‎ ，‎ 其中满足， .‎ 由三角函数性质知，当时， 取最小值.‎ 此时， ， .‎ 因此，当点位于时，点到的距离取最小值 ‎9.【山西省2018年高考考前适应性测试】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数， ），将曲线经过伸缩变换 得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线 （为参数）与， 相交于， 两点，且，求的值.‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由得，‎ 由得.‎ 而，∴.‎ 而，∴或.‎ ‎10.【江西省临川一中等九校2018届联考】已知直线，曲线.以坐标原点O为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）分别求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线分别交直线和曲线于M,N两点（N点不同于坐标原点O），求的最大值.‎ ‎【解析】（1） ‎ ‎（2）由已知可设 则，‎ ‎ ‎ 仅当时，取得最大值 ‎11.【湖南省郴州市2018届二质监】已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）,‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线任一点为，求点直线的距离的最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）直线的普通方程为，‎ ‎∵ ∴ ∴‎ 故曲线的直角坐标方程为，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，经过伸缩变换得到曲线的方程为，所以曲线的方程，可以令 (是参数)，根据点到直线的距离公式可得 ‎,‎ 故点到直线的距离的最大值为.‎ ‎12.【云南省昆明市2018届第二次统考】在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）求圆的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知， 是曲线与轴的两个交点，点为圆上的任意一点，证明 为定值.‎ ‎【解析】（1）圆的参数 方程为，（ 为参数），‎ 由得 ，即，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知， ，可设，所以 ‎ 所以为定值10.‎ ‎13.【湖南省三湘名校教育联盟2018届三联考】在极坐标系中，直线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数).‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线为曲线关于直线的对称曲线，点分别为曲线、曲线上的动点，点坐标为，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ 即，∴直线的直角坐标方程为；‎ ‎∵，∴曲线的普通方程为.‎ ‎14.【江西省上饶市2018届二模】在极坐标系中，已知三点．‎ ‎（1）求经过三点的圆的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数， ），若圆与圆外切，求实数的值．‎ ‎【解析】（1）对应的直角坐标分别为，则过 的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为.‎ ‎（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得.‎ ‎15.【江西省上饶市2018届二模】在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．‎ ‎（1）试写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解析】（1）由已知有，又，‎ 所以曲线的直角坐标方程为 ，即. ‎ 由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为 . ‎ ‎（2）将参数方程代入方程，整理得， ‎ 则. ‎ 所以，由直线方程参数得几何意义知 . ‎ ‎16.【山西省2018届一模】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数， ），将曲线经过伸缩变换 得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.‎ ‎【解析】（1）的普通方程为，‎ 把代入上述方程得， ，‎ ‎∴的方程为，‎ 令，‎ 所以的极坐标方程为；‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 而，∴，‎ 而，∴或.‎ ‎17.【江西省2018届高三六校联考】在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一动点， 的中点为，求点到直线的最小值．‎ ‎【解析】（1）由得的普通方程．　　 ‎ 又由，得，所以，曲线的直角坐标方程为，‎ 即．　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎18.【河南安阳2018届二模】在平面直角坐标系中，已知直线 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线 与圆的交点为， ，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎【解析】（1）在中，令， .‎ 得，化简得.‎ 即为直线的极坐标方程.‎ 由得，即.‎ ‎，即为圆的直角坐标方程.‎ ‎（2）‎ 所以.‎ ‎19.【宁夏石嘴山市第三中 2018届一模】已知在平面直角坐标系中，椭圆C的方程为，以为极点， 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值．‎ ‎（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），‎ ‎|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|， ‎ 分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9． ‎ ‎20.【云南省保山市2018届第二次市级统测】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于， 两点，求的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由曲线的极坐标方程为，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程是．‎ 由直线的参数方程为（t为参数），得直线的普通方程． ‎ ‎（Ⅱ）由直线的参数方程为（t为参数），得（t为参数），‎ 代入，得，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以，‎ 因为原点到直线的距离，‎ 所以． - ‎