江西省上饶市六校2020届高三一模考试（4月）数学（文）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 上饶市 2020 届六校高三第一次联考 文科数学试卷 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，，在每个小悶给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求. 1.已知集合 ，集合 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 算出集合 B，再与集合 A 求交集即可. 【详解】由已知， ，故 . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是一道基础题. 2.若复数 为纯虚数，则 （ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将复数标准化为 ，根据题意得到 a，再利用模长公式计算即可. 【详解】由已知， ，故 ，所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查复数除法、复数模的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 3.函数 图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. . { }1,2, 1A = − { }2 ,B y y x x A= = ∈ A B = { }1 { }1,2,4 { }1,1,2,4− { }1,4 {1,4}B = A B = { }1 ( )R1 a i i a∈− + 3 ai− = 13 13 10 10 i 1 ( 1)i=1 i 2 a a a− − − + + i ( i)(1 i) 1 ( 1)i=1 i (1 i)(1 i) 2 a a a a− − − − − +=+ + − 1a = 3 i 3 ia− = − = 10 ( ) 2 1 cos1 xf x xe  = − +  - 2 - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用奇偶性可排除 A、C；再由 的正负可排除 D. 【详解】 ， ，故 为奇函数，排除选项 A、C；又 ，排除 D，选 B. 故选：B. 【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单 调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 4.给出以下命题 ①已知命题 ，则： ； ②已知 ， 是 的充要条件； ③命题“若 ，则 的否命题为真命题”. 在这 3 个命题中，其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称命题 否定是特称命题可判断①；用定义法去论证②；由否命题与逆命题同真假可 判断③. 【详解】命题 ，则 ，故①正确；当 时， 由 不能推出 ，反过来， 能推出 ，所以， 是 的必要不 的 (1)f ( ) 2 1 e1 cos cos1 e 1 e x x xf x x x − = − = + +  ( ) 1 e cos( )1 e x xf x x − − −− = − =+ e 1cose 1 x x x − + ( )f x= − ( )f x 1 e(1) cos1 01 ef −= <+ 2: R, 1 0p x x x∀ ∈ − + > 2 0 0 0: R, 1 0p x x x¬ ∃ ∈ − + ≤ Ra b c∈， ， a b> 2 2ac bc> 1sin 2 θ = 6 πθ = 2: R, 1 0p x x x∀ ∈ − + > 2 0 0 0: R, 1 0p x x x¬ ∃ ∈ − + ≤ 0c = a b> 2 2ac bc> 2 2ac bc> a b> a b> 2 2ac bc> - 3 - 充分条件，故②错误；“若 ，则 的否命题与其逆命题同真假，而若 ， 则 的逆命题为若 ，则 ，显然成立，故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到全称命题的否定、充分条件、必要条件、否命题 等知识，是一道基础题. 5.设函数 ，若 ， ， ，则 的 大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 ，利用 的单调性即可得到答案. 【详解】因为 ， ， ， ， 故 ，又 在 单调递增， 所以， . 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小，涉及到换底公式的应用，是一道容易题. 6.已知非零向量 ， 满足 ，且 ，若 ， 的夹角为 ，则实数 的值 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 ，再利用数量积的定义计算即可. 【详解】由 ，得 ，即 ，又 ， 1sin 2 θ = 6 πθ = 1sin 2 θ = 6 πθ = 6 πθ = 1sin 2 θ = ( ) 2logf x x= ( )3log 2a f= ( )5log 2b f= ( )0.22c f= a b c， ， a b c< < b c a< < c a b< < < = 2 2log 5 log 3 1> > 5 2 1log 2 log 5 = 3 2 1log 2 log 3 = 5log 2 < 3l og 2 1< ( ) 2logf x x= (0, )+∞ ( )5log 2f ( )3log 2f< ( )0.22f< a b a k b=  ( )b a b⊥ +   a b 2 3 π k 4 3 2 1 2 ( ) 0b a b⋅ + = ⇔   2 0b a b⋅ + =   ( )b a b⊥ +   ( ) 0b a b⋅ + =   22| || |cos | | 03a b b π + =   | | | |a k b=  - 4 - 所以 ，解得 . 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积运算，考查学生基本的计算能力，是一道基础题. 7.甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7 位评委的评分情况如茎叶 图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数 满足： 成等比数列，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由中位数、平均数可得 x，y 的值，再由 成等比数列得到 ，最后利用基 本不等式可得 的最小值. 【详解】甲班成绩的中位数是 81，故 ，乙班成绩的平均数是 86，则 ，解得 ，又 成等比数列， 故 ，所以， ，当且仅当 时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识， 是一道容易题. 8.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长 为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 21 | | | | 02 k b b− + =  2k = ,a b , , ,x a b y 2a b+ 6 8 2 2 4 2 , , ,x a b y 4ab xy= = 2a b+ 1x = 76 80 82 (80 ) 91 93 96 867 y+ + + + + + + = 4y = , , ,x a b y 4ab xy= = 2 2 2 4 2a b ab+ ≥ = 2, 2 2a b= = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > ( )2 22 4x y− + = 2 2 C 2 3 2 2 3 3 - 5 - 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意算得圆心到渐近线的距离，利用垂径定理与勾股定理即可建立起 的方程. 【 详 解 】 由 已 知 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ， 不 妨 设 ， 被 圆 所截得的弦长为 ，圆的半径为 ，故圆心到渐近线的距离为 ， 所以 ，故双曲线 的离心率为 . 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，涉及到点到直线的距离、弦心距等知识，考查学生的运 算求解能力，是一道容易题. 9.在 中，角 、 、 的对边分别是 ，且面积为 ，若 ， ，则角 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 可得到角 A，由 及 得到角 C， 再利用 计算即可得到答案. 【详解】由正弦定理及 ，得 ， 即 ，又 ，所以 ，又 ，故 , ,a b c 0bx ay± = 0bx ay+ = ( )2 22 4x y− + = 2 2 r 2 2 2 2 2 ( 2) 2b r a b = − = + a b= C 21 ( ) 2be a = + = ABC A B C a b c， ， S cos cos 2 cosb C c B a A+ = ( )2 2 21 4S b a c= + − B 2 π 5 12 π 7 12 π 3 π cos cos 2 cosb C c B a A+ = in1 2 sS ab C= ( )2 2 21 4S b a c= + − A B C π+ + = cos cos 2 cosb C c B a A+ = sin cos sin cos 2sin cosB C C B A A+ = sin 2sin c s( o)B C A A+ = sin( ) sinB C A+ = 1cos 2A = (0, )A π∈ - 6 - ；又 ，所以 ，从而 ，所以 ， ，故 . 故选：B. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形面积公式的选取，公式变形等处理， 考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 10.已知三棱锥 中， 平面 ， 中两直角边 ， ， 若三棱锥的体积为 10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将其置入长方体中，由三棱锥 体积为 10，得到 CD 的长，从而进一步得到长方体体对角线（ 外接球直径）的长. 【详解】将三棱锥置入长方体中，如图所示 由已知， ， ，所以 ，解得 ， 所以 ，所以三棱锥的外接球的半径为 ， 故外接球表面积为 . 故选：A. 【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，在涉及比较特殊的三棱锥外接球问题时，通常 的 3A π= ( )2 2 21 4S b a c= + − 1 sin2 ab C = ( )2 2 21 4 b a c= + − 2 2 2 sin cos2 b a cC Cba + −= = tan 1C = 4C π = 5 12B A C ππ= − − = A BCD− CD ⊥ ABC Rt ABC 5AB = 3AC = 50π 25π 25 2 π 25 4 π 5AB = 3AC = 1 1 5 3 103 2A BCD D ABCV V CD− −= = × × × × = 4CD = 2 2 2 2 25 3 4 5 2BD BC CD= + = + + = 5 2 2R = 24 50Rπ π= - 7 - 考虑能否将其置入正方体或长方体中来求解，本题是一道中档题. 11.已知函数 ，过点 ， ，当 ， 的最大值为 9，则 的值为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由图可得 ，所以 ，令 ，转化为求 的最大值问题. 【详解】由已知， ，所以 ， ，又 ， ， 所以 ， ，故 ， 所以 ， 因 ，所以 ， ， ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > <   ,012A π     ,23B π     5,12 12x π π ∈   ( ) ( )2 cos 4 3g x mf x x π = + −   m 2 5 2 2 5 2 2± ( ) 2sin 2 6f x x π = −   ( ) 4 sin 2 6g x m x π = − +   21 2sin 2 6x π − −   sin 2 [0,1]6x t π − = ∈   22 4 1y t mt= − + + 4 3 12 4 T π π π= − = 2T ππ ω= = 2ω = ( ) 23f π = | | 2 ϕ π< sin(2 ) 13 π ϕ× + = 6 πϕ = − ( ) 2sin 2 6f x x π = −   ( ) ( )2 cos 4 3g x mf x x π = + − =   4 sin 2 6m x π − +   21 2sin 2 6x π − −   5,12 12x π π ∈   22 0,6 3x π π − ∈    sin 2 [0,1]6x π − ∈   - 8 - 令 ，则 ，故 ， 若 ，易得 ，不符合题意； 若 ，易得 ，解得 （舍）； 若 ，易得 ，解得 . 故选：B. 【点睛】本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次 函数最值等知识，是一道有一定难度的题. 12.已知函数 ，若有且仅有两个整数使得 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先将问题转化为 的图象上有且仅有两个的整数点低于 的图象 或在其上的问题，然后再通过求导作出两个函数的图象，数形结合即可得到. 【详解】由题意，有且仅有两个的整数，使得 ，即 ，令 ， 则 ，易知 在 单调递增，在 单调递减，作出 与 的图象，如图所示 sin 2 6x t π − =   [0,1]t ∈ 22 4 1y t mt= − + + 0m ≤ max 1y = 0 1m< < 2 max 1 2 9y m= + = 2m = ± m 1≥ max 4 1 9y m= − = 5 2m = ( ) ( ) ( )2 1 1xf x x e mx m m= − + − ≥ − ( ) 0f x ≤ m 2 3 5,2 3e e  − −   2 5 8,2 3e e  − −   2 1 5,2 3e  − −   51, 2e  − −   ( ) e (2 1)xg x x= − (1 )y m x= − ( ) 0f x ≤ ( )e 2 1x x m mx− ≤ − ( ) e (2 1)xg x x= − '( ) e (2 1)xg x x= + ( )g x 1( , )2 − +∞ 1( , )2 −∞ − ( )g x ( 1)( 1)y m x m= − − ≤ − - 9 - 只需 ，解得 . 故选：A. 【点睛】本题考查导数在不等式中的运用，涉及了转化与化归的思想以及数形结合的思想， 有一定难度及高度，是一道较好的压轴选择题. 二、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分 13.函数 在点 处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出导函数，得 ，即切线斜率，然后可得切线方程． 【详解】由题意 ，∴ ，又 ， ∴所求切线方程为 ，即 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数 在点 处的切线方程是 ． 14.设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是__________. 【答案】 (0) ( 1) ( 1 1) ( 2) ( 2 1) f m f m f m ≤  − ≤ − − −  − > − − − 2 3 5 2e 3em− ≤ < − ( ) cosxf x e x= ( )( )0, 0f 1 0x y− + = '(0)f ( ) cos sinx xf x e x e x′ = − '(0) 1f = (0) 1f = 1y x− = 1 0x y− + = 1 0x y− + = ( )f x 0 0( , ( ))x f x 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x′− = − x y 2 0 4 0 4 4 0 x y x y x y − + ≥  + − ≥  − − ≤ 1 1 y x + + 2 - 10 - 【解析】 【分析】 画出可行域， 表示点 与 连线的斜率问题，数形结合即可得到答案. 【详解】作出可行域如图所示 表示点 与 连线的斜率问题，又 ，所以 ， 故 . 故答案为： . 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，通常采用式子所表示的几何意义 计算，本题是一道基础题. 15.已知等比数列 的公比不为 1，且 前 项和为 ，若满足 ， ， 成等差数 列，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 可得公比 q，将其代入 中即可. 【详解】由已知， ，所以 ，解得 或 （舍）， 1 1 y x + + ( , )x y ( 1, 1)A − − 1 1 y x + + ( , )x y ( 1, 1)A − − ( )1,3B 3 ( 1) 21 ( 1)ABk − −= =− − max 1 21 AB y kx +  = = +  2 { }na { }na n nS 2a 52a 83a 3 6 S S = 3 4 54a = 2a 83a+ 3 6 S S = 3 1 1 q+ 54a = 2a 83a+ 4 74 3q q q= + 3 1 3q = 3 1q = - 11 - 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，考查学生的运算求解能力，是一道基础 题. 16.如图，在矩形 与扇形 拼接而成的平面图形中， ， ， ，点 在弧 上， 在 上， .设 ，则当平面区域 （阴影部分）的面积取到最大值时 __________ 【答案】 【解析】 【分析】 先将阴影部分的面积表示为 ， ，只需求使得 取最小值的 即可得到答案. 【 详 解 】 由 已 知 ， ， ， 易 得 扇 形 的 面 积 为 ， 四边形 的面积为 ，故阴影部分的面积为 ，设 ，则 3 6 S S = 3 1 6 3 1 (1 ) 1 31 (1 ) 1 4 1 a q q a q q q − − = =− + − 3 4 OABC OCD 3OA = 5AB = 6COD π∠ = E CD F AB 3EOF π∠ = FOC x∠ = OECBF cos x = 4 5 25 1 915 ( 25 )6 2 tan xx π+ − + 9( ) 25tanh x xx = + ( )h x 0x 0[ , ]3x πθ∈ 0 3tan 5 θ = EOC 21 25 25( ) 52 3 6 2x x π π× − × = − OCBF 1 33 5 32 tan x × − × × 25 1 915 ( 25 )6 2 tan xx π+ − + 9( ) 25tanh x xx = + 2 2 ' 2 9sin 9cos( ) 25sin x xh x x − −= + = - 12 - ，令 ，得 ，记其解为 ， 并且 在 上单调递减，在 单调递增，所以 得最小值为 ，阴影部 分的面积最大值为 ，此时 ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生 的运算求解能力，是一道有一定难度的题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分. 17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列基本量计算即可； （2） ，利用裂项相消法求前 n 项和. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， 由题意， ，解得： ， . ∴ ； （2）∵ ， ∴ . 【点睛】本题考查等求差数列通项公式以及裂项相消法求数列的前 n 项和，考查学生的运算 能力，是一道基础题. 2 (4sin 3cos )(4sin 3cos ) sin x x x x x + − ' ( ) 0h x = 3 3tan [ , 3]4 5x = ∈ 0x ( )h x 0 0[ , ]xθ 0[ , ]3x π ( )h x 0( )h x 2515 6 π+ − 0( )h x 0 3tan 4x = 0 2 0 1 4cos cos 51 tan x x x = = = + 4 5 { }na n nS 5 35S = 2 1a a− 4 2a a− 1 2a a+ { }na ( ) 1 1 Nn n n b na a ∗ + = ∈ { }nb n nT 2 1na n= + 6 9n nT n = + 1 1 1 2 2 1 2 3bn n n  = − + +  { }na d ( ) 1 2 1 5 45 352 4 2 a d d d a d × + =  = + 1 3a = 2d = ( )3 2 1 2 1na n n= + − = + ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n bn a a n n n n+  = = = − + + + +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n nT n n n n    = − + − + ⋅⋅⋅ + − = − =   + + + +    - 13 - 18.如图所示，在四棱锥 中， ，平面 平面 ，且 为边长为 的等边三角形，过 作 ，使得四边形 为 菱形，连接 ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）求多面体 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1） 平面 ，只需证明 ， 即可； （2）利用割补法求解，即 . 【详解】（1）证明：∵ ，∴ ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 故 平面 ； 又 平面 ，故 ； 又四边形 为菱形； ， , ∴ 平面 （2）由已知， ，所以 ， ， ∵ 由（1）知 平面 ，由平面 平面 可知点 A 在平面 的投影落在 交线 BD 上，在直角三角形 DAB 中， ，所以点 A 到平面 的距离为 ， . S ABCD− 2 90BAD CDA CBD ABD∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ° SBD ⊥ ABCD SBD 2 S //ST BD STDB TA TD TC DS ⊥ TBC ABCDTS 6 2 DS ⊥ TBC CB DS⊥ DS BT⊥ ABCDTS A STDB C BSTDV V V− −= + 90CBD∠ = ° CB BD⊥ SBD  ABCD BD= SBD ⊥ ABCD CB ⊥ SBD SD ⊂ SBD CB DS⊥ STDB DS BT⊥ CB BT B∩ = DS ⊥ TBC 2BD = 1AD AB= = 2BC = 1 32 2 2 2 32 2BSTD BDSS S= = × × × × =△ CB ⊥ SBDT SBD ⊥ ABCD SBDT 45oADB∠ = SBDT 2 2 - 14 - ∴ . 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及不规则几何体积的求法，在求不规则几何的体积时， 通常是采用割补法，是一道容易题. 19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 浓度，制 定了空气质量标准： 空气污染质量 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从 2010 年开始考查了连续六年 11 月份的空气污染 指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从 2016 年 11 月 1 日起在空气质量重度 污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号 为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前 13 个视为单号，后 13 个视为双号）. （1）某人计划 11 月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率； （2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的 11 月份共 90 天 的空气质量进行统计，其结果如表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 16 39 18 10 5 2 根据限行前六年 180 天与限行后 90 天的数据，计算并填写 列联表，并回答是否有 的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 1 2 62 33 2 2ABCDTS A STDB C BSTDV V V− −  = + = + × =    2.5PM ( ]0,50 ( ]50,100 ( ]100,150 ( ]150,200 ( ]200,300 ( )300,+∞ 2 2× 90% - 15 - 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 限行后 合计 参考数据： 其中 【答案】（1）0.05（2）计算及填表见解析；有 的把握认为空气质量的优良与汽车尾气 的排放有关 【解析】 【分析】 （1）利用每个小矩形的面积和为 1 即可求得答案； （2）利用公式 计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为 ， 所以某人因空气污染被限号出行的概率为 0.05. （2）限行前六年 180 天中，空气质量优良的天数为 . 列联表如下： ( )2 0P K k> 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 90% ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )1 0.003 0.004 0.005 0.006 50 0.1− + + + × = 180 (0.006 0.004) 50 90× + × = - 16 - 空气质量优、良 空气质量污染 合计 限行前 90 90 180 限行后 55 35 90 合计 145 125 270 由表中数据可得 . 所以有 的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，考查学生识图及数据处理的能力， 是一道容易题. 20.己知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点，当 的横坐标为 1 时， . （1）求抛物线 的方程； （2）已知过定点 的直线 与抛物线 相交于 两点.若 恒为定值，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用抛物线 定义可得 ，所以有 ； （2）设 ，联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系，又 ，代入化简即可. 【详解】（1）抛物线 的准线方程为 ，焦点 当 的横坐标为 1 时， 的 ( )2 2 270 90 35 90 55 2.979 2.706180 90 145 125K × × − ×= ≈ >× × × 90% ( )2: 2 0C y px p= > F P P 3 2PF = C ( ),0M m :l x ky m= + C A B， 2 2 1 1 AM BM + m 2 2y x= 1m = 31 2 2 p+ = 1p = 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 2 2 1 1 AM BM + = ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 y y y y k y y + − + C 2 px = − ,02 pF      P 3 2PF = - 17 - ∴ ，解得 ∴抛物线 的方程为 （2）设 ， 由直线 的方程为 与抛物线 联立， 消去 得： ， 则 ， ， ， ， ， ，对任意 恒为定值， 当 时，此时 ，∴ ，且满足 ，符合题意. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到抛物线中的定值问题，在处理直 线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力， 是一道中档题. 21.已知函数 ， ， . （1）讨论 的单调性： （2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1） ，分 ， 两种情况讨论； （2）不等式 对任意 恒成立，转化为 对任意 恒 31 2 2 p+ = 1p = C 2 2y x= 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， l x ky m= + 2: 2C y x= x 2 2 2 0y ky m− − = 1 2 2y y m= − 1 2 2y y k+ = 24 8 0k m∆ = + > 1 1x ky m= + 2 2x ky m= + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 21 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1k y k yx m y x m yAM BM + = + = + + +− + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 4 4 1 1 1 4 1 y y y yy y k m k m k y y k y y k m k m + −+ + += = = = + + + × + × Rk ∈ 1m = 2 2 1 1 1 AM BM + = 1m = > 0∆ ( ) lnf x x x= + ( ) 21 2g ax ax x= + ( ) 1xh x mxe= − ( ) ( ) ( )F x g x f x= − ( ) ( )h x f x≥ (0, )x∈ +∞ m m 1≥ ( ) ( )( ) ( )' 1 1 0ax xF x xx − += > 0a ≤ 0a > ( ) ( )h x f x≥ 0( )x∈ + ∞ ln 1 x x xm xe + +≥ 0( )x∈ + ∞ - 18 - 成立，令 ，只需求出 的最大值即可. 【详解】（1） ， ， ①当 时， ，所以 在 上单调递减； ②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）不等式 对任意 恒成立，即 恒成立， 因为 ，所以 令 令 ， ， 故 在 上单调递减，且 ， ， 故存在 使得 ， 即 即 ， 当 时， ， ； 当 ， ， ； 所以 ， 故实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，在处理不等式恒成立问 题时，通常构造函数，转化为函数的最值问题来处理，是一道较难的题. 请考生在第 22、23 题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清 ( ) ln 1 x x xG x xe + += ( )G x ( ) ( )21 1 ln2F x ax a x x= + − − ( ) ( )( ) ( )' 1 111 0ax xF x ax a xx x − += + − − = > 0a ≤ ( )' 0F x < ( )F x (0, )+∞ 0a > ( )' 0F x < 10 x a < < ( )' 0F x > 1x a > ( )F x 10, a      1( , )a +∞ ( ) ( )h x f x≥ 0( )x∈ + ∞ 1 lnxmxe x x− ≥ + 0x > ln 1 x x xm xe + +≥ ( ) ln 1 x x xG x xe + += ( ) ( )( )' 2 1 ln x x x xG x x e + − −= ( ) lnp x x x= − − ( )' 1 1 0p x x = − − < ( )p x (0, )+∞ 1 11 0p e e   = − >   ( )1 1 0p = − < 0 1 ,1x e  ∈   ( )0 0 0ln 0P x x x= − − = 0 0ln 0x x+ = 0 0 xx e−= ( )00,x x∈ ( ) 0p x > ( ) 0G x′ > 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0p x < ( ) 0G x′ < ( ) ( ) 0 0 0ax 0 m 0 0 0 ln 1 1 1x x x x xG x G x x e e e− + += = = = m m 1≥ - 19 - 题号 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极 点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程； （2）若 为曲线 上的两点，且 ，求 的最大值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2） ， ， 即可求得最 大值. 【详解】（1）曲线 C 的普通方程为 ，故 C 的极坐标方程为 ，又 ，所以 ，故直线 的直角坐标方程 . （2）不妨设 ， ， 则 ，当且仅当 时，取得等号， ∴ 的最大值为 . 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化以及距离和的最大值问题，是 一道基础题. 23.已知函数 . xOy C 1 cos sin x y α α = +  = α O x l 3sin 6 2 πρ θ + =   C l ,A B C 3AOB π∠ = OA OB+ 2: cosC ρ θ= : 3 3 0l x y+ − = 2 3 2cosOA θ= 2cos 3OB πθ = +   OA OB+ 2 3sin 3 πθ = − −   2 2 2 0x y x+ − = 2cosρ θ= 3sin 6 2 πρ θ + =   3 1 3sin cos2 2 2 ρ θ ρ θ+ = l 3 3 0x y+ − = 2cosOA θ= 2cos 3OB πθ = +   ( , )2 2 π πθ ∈ − 2cos 2cos 2cos 2cos3 3OA OB π πθ θ θ θ   + = + + = + +       2 3sin 2 33 πθ = − − ≤   6 πθ = − OA OB+ 2 3 ( ) 2 1 1f x x x= − + + - 20 - （1）求不等式 的解集； （2）若函数 的最小值记为 ，设 ， ，且有 .求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）作出函数图象，数形结合即可得到答案； （2） ， ，在乘开， 利用基本不等式即可. 【详解】解（1）因为 从图可知满足不等式 的解集为 . （2）由图可知函数 的最小值为 ，即 . 所以 ，从而 ， 从而 ( ) 2f x x≤ + ( )y f x= m 0a > 0b > a b m+ = 1 2 1 2a b ++ + [ ]0,1 6 4 2 9 + 3 2a b+ = ⇒ 91 2 2a b+ + + = ( ) ( )1 1 2 1 21 21 2 9 1 2a ba b a b  + = + + + +   + + + +  ( ) 3 , 1, 12 1 1 2, 1 ,2 13 , .2 x x f x x x x x x x   − < − = − + + = − + − ≤ ≤   > ( ) 2f x x≤ + [ ]0,1 ( )y f x= 3 2 3 2m = 3 2a b+ = 91 2 2a b+ + + = ( ) ( )1 1 2 1 21 21 2 9 1 2a ba b a b  + = + + + +   + + + +  - 21 - 当且仅当 ，即 时，等号成立， ∴ 的最小值为 . 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题. ( ) ( )2 1 2 12 2 2 2 6 4 23 3 29 1 2 9 1 2 9 a ab b a b a b   + − + + += + + ≥ + ⋅ =   + + + +       ( )2 12 1 2 ab a b ++ =+ + 9 2 11 14 9 2,2 2a b − −= = 1 2 1 2a b ++ + 6 4 2 9 + - 22 -