【数学】2019届一轮复习北师大版复数与其他知识的交汇问题学案 8页

‎ ‎ 专题十一 算法、推理与证明、复数 问题三：复数与其他知识的交汇问题 一、考情分析 复数在高考数学中所占的比重较小且难度不很大,一般以选择题或填空题的形式进行考查,但作为一个必考的知识点,它的考查方式却十分灵活,具有常考常新,活而不难的特点.由于复数具有代数和三角两种形式,它又与复平面的点之间建立起一一对应的关系,从而成为数形结合的重要桥梁,故而它常与其他知识点相结合,比如与简易逻辑、与方程、与函数、与三角、与平面向量、与解析几何等等.‎ 二、经验分享 ‎1. 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．‎ ‎2.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. ‎ ‎(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．‎ ‎(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．‎ ‎(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．‎ ‎3.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可．‎ 三、知识拓展 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形O 1 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即＝＋,＝－.‎ 四、题型分析 一、复数与集合、简易逻辑的结合 ‎【例1】设x∈R,则“x=‎1”‎是“复数 =（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据题意中利用定义来判断,即先判断由是否可以推出复数,再判断由复数是否可以推出.‎ ‎【解析】若x=1,则,反之若,则解得x=1,所以答案选C.‎ ‎【点评】本题考查了复数的概念和充分条件必要条件的判定,判断充要条件可从两方面考虑:一是解这类问题必须明确哪个是条件,哪个是结论；二是判断由条件是事可以推出结论,由结论是否可以推出条件,应用充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的定义加以说明.‎ ‎【牛刀小试】若集合（是虚数单位）,,则（）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得,故．故选C．学 ‎ 二、复数与三角函数的结合 ‎【例2】【吉林省长春市普通高中2017届高三质量】复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】先化简所给复数,再利用复数的几何意义确定 在复平面内对应的点.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知,,,则,对应的点在第二象限. 故选B.‎ ‎【小试牛刀】(2015·山西太原三模,4)若 ＝sin θ－＋i是纯虚数,则tan的值为(　　)‎ A．－7 B．－ C．7 D．－7或－ ‎【答案】　‎ ‎【解析】A　由于 ＝sin θ－＋i是纯虚数,故sin θ＝,cos θ≠,‎ ‎∴cos θ＝－.故tan θ＝－.∴tan＝＝－7,故选A.‎ 三、复数与解析几何的结合 ‎【例3】复数 满足方程＝4,那么复数 在复平面内对应的点P的轨迹方程____________‎ ‎【分析】根据题中所给条件,求复数,不难想到设出,代入条件：,可得：,运用复数模的计算公式化简为：,即可求出点的轨迹方程为.‎ ‎ 学 ‎ ‎【点评】本题考查了轨迹方程、复数的几何意义和复数模长的计算,体现了数形结合数学思想的运用.处理这类问题常有两种方法：一,利用复数的代数形式进行求解,即“化虚为实”,思路自然清晰,但运算较烦,本题所用就是此法；二,利用几何意义求解,显得简捷明快,关于复数模的问题,一般可化为复平面内两点间的距离来解决,当然这还是要通过大量训练深入思考领悟.‎ ‎【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】若,且,则的最小值为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】：设,‎ 则,所以 ‎．这表示的是一个以圆心为,半径为1的圆．而,这表示圆上任意一点到点 的距离．由于圆心为到点的距离为：,所以的最小值为,故应填．‎ 四、复数与平面向量的结合 ‎【例4】在复平面内,记复数对应的向量为,若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为 ． ‎ ‎【点评】本题考查了复数、平面向量及复平面的知识.复数与平面向量有着一脉相承的“血缘”的关系,二者的“结合交汇”是近年来高考的一个热点,既是对《考纲》要求的呼应,也是复数考查方式创新的一种体现.‎ ‎【小试牛刀】【河南百校联盟2017届高三11月质检】设（为虚数单位）,若复数在复平面内对应的向量为,则向量的摸是（ ）‎ A.1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】,则向量的摸是 五、迁移运用 ‎1．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷】欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由欧拉公式为虚数单位）可得 ‎ ‎ ‎ .‎ 所以表示的复数对应的点为,此点在第二象限.‎ 故选B. ‎ ‎2．【福建省莆田市2018届高三第二次质量检测】设,则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（ ） + + ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 学 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,其对应的点的坐标为,若该点在第二象限,可得,即,又是的真子集,故为必要非充分条件,故选B.‎ ‎3.在复平面内,复数3－4i,i(2＋i)对应的点分别A,B,则线段AB的中点C对应的复数为(　　)‎ A．－2＋2i B．2－2iC．－1＋i D．1－i ‎【答案】　D　‎ ‎4.【广西柳州市2017届高三10月模拟】设是虚数单位,复数,则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】,所对应的点位于第四象限,选D.‎ ‎5.（2016四川理2）设为虚数单位,则的展开式中含的项为（）.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】二项式展开的通项,则其展开式中含是当,即 ‎,则展开式中含的项为,故选A.‎ ‎6．【2016届山东省实验中学高三上学期第一次诊断】在复平面内,复数对应的点到直线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以该复数对应的点为,该点到直线的距离为,故选A．学 ‎ ‎7．【2015陕西高考理11】设复数,若,则的概率为（）．‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可知,‎ ‎.‎ 所以表示所示的阴影部分,‎ 所以.‎ 故选D. ‎ ‎8.复数 1, 2满足 1＝m＋(4－m2)i, 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m,λ,θ∈R),并且 1＝ 2,则λ的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1 B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ,由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝42－,因为sin θ∈[－1,1 ,所以4sin2θ－3sin θ∈.‎ ‎9.设f(n)＝n＋n(n∈N ),则集合{f(n)}中元素的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．无数个 ‎【答案】　C ‎【解析】　f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n,‎ f(1)＝0,f(2)＝－2,f(3)＝0,f(4)＝2,f(5)＝0,…‎ ‎∴集合中共有3个元素．‎ ‎10.复数 与点 对应,为两个给定的复数,,则决定的 的轨迹是（ ）‎ A过的直线 B.线段的中垂线 C.双曲线的一支 D.以 为端点的圆 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由复数的几何意义可知点 到点的距离为,点 到点的距离为,因此点 到点的距离等于点 到点的距离,点 在线段的中垂线上,答案选B.‎ ‎11.已知集合M＝{1,m,3＋(m2－5m－6)i},N＝{－1,3},若M∩N＝{3},则实数m的值为________．‎ ‎【答案】　3或6‎ ‎【解析】　∵M∩N＝{3},∴3∈M且－1∉M,‎ ‎∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3,‎ ‎∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3,解得m＝6或m＝3.‎ ‎12．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限,则实数的取值范围是 ． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由已知得,解得.‎ ‎13.已知 是复数, ＋2i、均为实数(i为虚数单位),且复数( ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限,实数a的取值范围是 ．．‎ ‎【答案】(2,6) 学+ + ‎ ‎14.已知f(x)＝则f[f(1－i) ＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】　∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2,∴f[f(1－i) ＝f(2)＝1＋2＝3.‎ ‎15．在△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边长, 1＝, 2＝cos A＋．若复数 1· 2在复平面内对应的点在虚轴上,试判断△ABC的形状．‎ ‎【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形 ‎【解析】由题意知 复数对应的点在虚轴上 所以,且 由正弦定理得,即 由于,‎ 即 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎