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- 2021-06-16 发布
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§5.4
平面向量应用举例
[
考纲要求
]
1.
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;
2.
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1
.向量在平面几何中的应用
(1)
用向量解决常见平面几何问题的技巧:
2
.平面向量在物理中的应用
(1)
由于物理学中的力、速度、位移都是
______
,它们的分解与合成与向量的
______________
相似,可以用向量的知识来解决.
(2)
物理学中的功是一个标量,是力
F
与位移
s
的数量积,即
W
=
F
·
s
=
|
F
||
s
|cos
θ
(
θ
为
F
与
s
的夹角
)
.
矢量
加法和减法
3
.平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.
此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.
【
答案
】
(1)
√
(2)
×
(3)
×
(4)
×
(5)
√
1
.已知
△
ABC
的三个顶点的坐标分别为
A
(3
,
4)
,
B
(5
,
2)
,
C
(
-
1
,-
4)
,则这个三角形是
(
)
A
.锐角三角形
B
.直角三角形
C
.钝角三角形
D
.等腰直角三角形
【
答案
】
B
【
答案
】
D
【
答案
】
1
∶
2
【
答案
】
y
2
=
8
x
(
x
≠
0)
5
.已知一个物体在大小为
6 N
的力
F
的作用下产生的位移
s
的大小为
100 m
,且
F
与
s
的夹角为
60
°
,则力
F
所做的功
W
=
________J.
【
解析
】
W
=
F
·
s
=
|
F
||
s
|cos
〈
F
,
s
〉
=
6
×
100
×
cos 60
°
=
300(J)
.
【
答案
】
300
【
答案
】
C
【
答案
】
内心
【
方法规律
】
解决向量与平面几何综合问题,可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后通过向量运算研究几何元素之间的关系.
【
方法规律
】
向量在解析几何中的作用:
(1)
载体作用,向量在解析几何问题中出现,多用于
“
包装
”
,解决此类问题关键是利用向量的意义、运算,脱去
“
向量外衣
”
;
(2)
工具作用,利用
a
⊥
b
⇔
a
·
b
=
0
;
a
∥
b
⇔
a
=
λb
(
b
≠
0)
,可解决垂直、平行问题.
【
解析
】
圆
(
x
-
2)
2
+
y
2
=
4
的圆心
C
(2
,
0)
,半径为
2
,
圆
M
(
x
-
2
-
5cos
θ
)
2
+
(
y
-
5sin
θ
)
2
=
1
,圆心
M
(2
+
5cos
θ
,
5sin
θ
)
,半径为
1
,
∵
CM
=
5
>
2
+
1
,故两圆相离.
如图所示,设直线
CM
和圆
M
交于
H
,
G
两点,
【
答案
】
B
【
答案
】
(1)D
(2)3
【
方法规律
】
利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化.
由余弦定理得
a
2
=
b
2
+
c
2
-
2
bc
cos
A
=
(
b
+
c
)
2
-
3
bc
=
7.
①
∵
向量
m
=
(3
,
sin
B
)
与
n
=
(2
,
sin
C
)
共线,
所以
2sin
B
=
3sin
C
.由正弦定理得
2
b
=
3
c
,
②
由
①②
,可得
b
=
3
,
c
=
2.
【
温馨提醒
】
对于在图形中给出解题信息的题目,要抓住图形的特点,通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件,尽快建立图形和欲求结论间的联系
.
►
方法与技巧
1
.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
2
.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
►
失误与防范
1
.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.
2
.注意向量共线和两直线平行的关系.
3
.利用向量解决解析几何中的平行与垂直,可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况
.
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