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  • 2021-06-16 发布

高考数学专题复习课件:5-4 平面向量应用举例

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§5.4  平面向量应用举例 [ 考纲要求 ]   1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题; 2. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 1 .向量在平面几何中的应用 (1) 用向量解决常见平面几何问题的技巧: 2 .平面向量在物理中的应用 (1) 由于物理学中的力、速度、位移都是 ______ ,它们的分解与合成与向量的 ______________ 相似,可以用向量的知识来解决. (2) 物理学中的功是一个标量,是力 F 与位移 s 的数量积,即 W = F · s = | F || s |cos θ ( θ 为 F 与 s 的夹角 ) . 矢量 加法和减法 3 .平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质. 【 答案 】 (1) √   (2) ×   (3) ×   (4) ×   (5) √ 1 .已知 △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (3 , 4) , B (5 , 2) , C ( - 1 ,- 4) ,则这个三角形是 (    ) A .锐角三角形        B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 【 答案 】 B 【 答案 】 D 【 答案 】 1 ∶ 2 【 答案 】 y 2 = 8 x ( x ≠ 0) 5 .已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m ,且 F 与 s 的夹角为 60 ° ,则力 F 所做的功 W = ________J. 【 解析 】 W = F · s = | F || s |cos 〈 F , s 〉 = 6 × 100 × cos 60 ° = 300(J) . 【 答案 】 300 【 答案 】 C 【 答案 】 内心 【 方法规律 】 解决向量与平面几何综合问题,可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后通过向量运算研究几何元素之间的关系. 【 方法规律 】 向量在解析几何中的作用: (1) 载体作用,向量在解析几何问题中出现,多用于 “ 包装 ” ,解决此类问题关键是利用向量的意义、运算,脱去 “ 向量外衣 ” ; (2) 工具作用,利用 a ⊥ b ⇔ a · b = 0 ; a ∥ b ⇔ a = λb ( b ≠ 0) ,可解决垂直、平行问题. 【 解析 】 圆 ( x - 2) 2 + y 2 = 4 的圆心 C (2 , 0) ,半径为 2 , 圆 M ( x - 2 - 5cos θ ) 2 + ( y - 5sin θ ) 2 = 1 ,圆心 M (2 + 5cos θ , 5sin θ ) ,半径为 1 , ∵ CM = 5 > 2 + 1 ,故两圆相离. 如图所示,设直线 CM 和圆 M 交于 H , G 两点, 【 答案 】 B 【 答案 】 (1)D   (2)3 【 方法规律 】 利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化. 由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A = ( b + c ) 2 - 3 bc = 7. ① ∵ 向量 m = (3 , sin B ) 与 n = (2 , sin C ) 共线, 所以 2sin B = 3sin C .由正弦定理得 2 b = 3 c , ② 由 ①② ,可得 b = 3 , c = 2. 【 温馨提醒 】 对于在图形中给出解题信息的题目,要抓住图形的特点,通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件,尽快建立图形和欲求结论间的联系 . ► 方法与技巧 1 .向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. 2 .以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法. ► 失误与防范 1 .注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 2 .注意向量共线和两直线平行的关系. 3 .利用向量解决解析几何中的平行与垂直,可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况 .