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  • 2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第九章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系

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www.ks5u.com 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线与圆的位置关系 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.‎ 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0‎ Δ=0‎ Δ>0‎ 几何观点 d>r d=r d0)所得的弦长为,点M,N在圆Ω上,且直线l′:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,若PM⊥PN,则|MN|的取值范围为(  )‎ A.[2-,2+] B.[2-,2+]‎ C.[-,+] D.[-,+]‎ 解析 由题意:2=,解得r=2,因为直线l′:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,故P(1,1);设MN的中点为Q(x,y),则|OM|2=|OQ|2+|MQ|2=|OQ|2+|PQ|2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得+=,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为,|MN|的取值范围为[-,+].故选D.‎ 答案 D ‎13.(2020·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是________.‎ 解析 圆C1关于直线x-y=0对称的圆C3的方程为(x-1)2+y2=r2,则圆C3与圆C2存在公共点,所以|r-1|≤≤r+1,所以r∈[-1,+1].‎ 答案 [-1,+1]‎ ‎14.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.‎ 解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心M(6,7),半径r=5,‎ 由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0).‎ 且=b+5.‎ 解得b=1,∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.‎ ‎(2)∵kOA=2,∴可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.‎ 又|BC|=|OA|==2.‎ 由题意,圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d= ‎==2.‎ 即=2,解得m=5或m=-15.‎ ‎∴直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.‎ ‎(3)由+=,则四边形AQPT为平行四边形,‎ 又∵P,Q为圆M上的两点,∴|PQ|≤2r=10.‎ ‎∴|TA|=|PQ|≤10,即≤10,‎ 解得2-2≤t≤2+2.‎ 故所求t的取值范围为[2-2,2+2].‎ C级 创新猜想 ‎15.(多选题)已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的取值可以是(  )‎ A.-1 B.-3 C.1 D.3‎ 解析 由题意得两圆的圆心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,解得a=3或a=-3或a=1或a=-1,所以a的所有取值构成的集合是{1,-1,3,-3}.‎ 答案 ABCD