高中数学人教a版选修1-1学业分层测评13变化率问题导数的概念word版含解析 6页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如果函数 y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝ ( ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 【解析】 根据平均变化率的定义，可知 Δy Δx ＝ 2a＋b－a＋b 2－1 ＝ a＝3.故选 C. 【答案】 C 2．若函数 f(x)＝－x2＋10 的图象上一点 3 2 ， 31 4 及邻近一点 3 2 ＋Δx，31 4 ＋Δy ，则 Δy Δx ＝( ) A．3 B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3 【解析】 ∵Δy＝f 3 2 ＋Δx －f 3 2 ＝－3Δx－(Δx)2， ∴ Δy Δx ＝ －3Δx－Δx2 Δx ＝－3－Δx.故选 D. 【答案】 D 3．若质点 A按照规律 s＝3t2运动，则在 t＝3 时的瞬时速度为 ( ) A．6 B．18 C．54 D．81 【解析】 因为 Δs Δt ＝ 33＋Δt2－3×32 Δt ＝ 18Δt＋3Δt2 Δt ＝18＋3Δt， 所以limΔt→0 Δs Δt ＝18. 【答案】 B 4.如图 3－1－1，函数 y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( ) 图 3－1－1 A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】 Δy Δx ＝ f3－f1 3－1 ＝ 1－3 2 ＝－1. 【答案】 B 5．已知函数 f(x)＝13－8x＋ 2x2，且 f′(x0)＝4，则 x0的值为 ( ) A．0 B．3 C．3 2 D．6 2 【解析】 f′(x0)＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 [13－8x0＋Δx＋ 2x0＋Δx2]－13－8x0＋ 2x20 Δx ＝ limΔx→0 －8Δx＋2 2x0Δx＋ 2Δx2 Δx ＝ limΔx→0 (－8＋2 2x0＋ 2Δx) ＝－8＋2 2x0＝4，所以 x0＝3 2. 【答案】 C 二、填空题 6．一物体的运动方程为 s＝7t2＋8，则其在 t＝________时的瞬 时速度为 1. 【解析】 Δs Δt ＝ 7t0＋Δt2＋8－7t20＋8 Δt ＝7Δt＋14t0， 当 limΔt→0 (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝ 1 14 . 【答案】 1 14 7．已知曲线 y＝1 x －1上两点 A 2，－ 1 2 ，B 2＋Δx，－ 1 2 ＋Δy ， 当Δx＝1时，割线 AB的斜率为________． 【解析】 Δy＝ 1 2＋Δx －1 － 1 2 －1 ＝ 1 2＋Δx － 1 2 ＝ 2－2＋Δx 22＋Δx ＝ －Δx 22＋Δx ， ∴ Δy Δx ＝ －Δx 22＋Δx Δx ＝－ 1 22＋Δx ， 即 k＝Δy Δx ＝－ 1 22＋Δx . ∴当Δx＝1时，k＝－ 1 2×2＋1 ＝－ 1 6 . 【答案】 － 1 6 8．已知函数 f(x)＝1 x ，则 f′(2)＝________. 【解析】 limΔx→0 f2＋Δx－f2 Δx ＝ limΔx→0 －Δx 22＋Δx Δx ＝ limΔx→0 －1 22＋Δx ＝－ 1 4 . 【答案】 － 1 4 三、解答题 9．求 y＝x2＋1 x ＋5在 x＝2处的导数． 【解】 ∵Δy＝(2＋Δx)2＋ 1 2＋Δx ＋5－ 22＋1 2 ＋5 ＝4Δx＋(Δx)2＋ －Δx 22＋Δx ， ∴ Δy Δx ＝4＋Δx－ 1 4＋2Δx ， ∴y′|x＝2＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 4＋Δx－ 1 4＋2Δx ＝4＋0－ 1 4＋2×0 ＝ 15 4 . 10．若函数 f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不 大于－1，求Δx的范围. 【导学号：26160069】 【解】 因为函数 f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为： Δy Δx ＝ f2＋Δx－f2 Δx ＝ －2＋Δx2＋2＋Δx－－4＋2 Δx ＝ －4Δx＋Δx－Δx2 Δx ＝－3－Δx， 所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0， 即Δx的取值范围是(0，＋∞)． [能力提升] 1．函数 y＝x2在 x0到 x0＋Δx之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0之间的平均变化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系为( ) A．k1>k2 B．k1