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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修1-1学业分层测评13变化率问题导数的概念word版含解析

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学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.如果函数 y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为 3,则 a= ( ) A.-3 B.2 C.3 D.-2 【解析】 根据平均变化率的定义,可知 Δy Δx = 2a+b-a+b 2-1 = a=3.故选 C. 【答案】 C 2.若函数 f(x)=-x2+10 的图象上一点 3 2 , 31 4 及邻近一点 3 2 +Δx,31 4 +Δy ,则 Δy Δx =( ) A.3 B.-3 C.-3-(Δx)2 D.-Δx-3 【解析】 ∵Δy=f 3 2 +Δx -f 3 2 =-3Δx-(Δx)2, ∴ Δy Δx = -3Δx-Δx2 Δx =-3-Δx.故选 D. 【答案】 D 3.若质点 A按照规律 s=3t2运动,则在 t=3 时的瞬时速度为 ( ) A.6 B.18 C.54 D.81 【解析】 因为 Δs Δt = 33+Δt2-3×32 Δt = 18Δt+3Δt2 Δt =18+3Δt, 所以limΔt→0 Δs Δt =18. 【答案】 B 4.如图 3-1-1,函数 y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( ) 图 3-1-1 A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】 Δy Δx = f3-f1 3-1 = 1-3 2 =-1. 【答案】 B 5.已知函数 f(x)=13-8x+ 2x2,且 f′(x0)=4,则 x0的值为 ( ) A.0 B.3 C.3 2 D.6 2 【解析】 f′(x0)= limΔx→0 Δy Δx = limΔx→0 [13-8x0+Δx+ 2x0+Δx2]-13-8x0+ 2x20 Δx = limΔx→0 -8Δx+2 2x0Δx+ 2Δx2 Δx = limΔx→0 (-8+2 2x0+ 2Δx) =-8+2 2x0=4,所以 x0=3 2. 【答案】 C 二、填空题 6.一物体的运动方程为 s=7t2+8,则其在 t=________时的瞬 时速度为 1. 【解析】 Δs Δt = 7t0+Δt2+8-7t20+8 Δt =7Δt+14t0, 当 limΔt→0 (7Δt+14t0)=1时,t0= 1 14 . 【答案】 1 14 7.已知曲线 y=1 x -1上两点 A 2,- 1 2 ,B 2+Δx,- 1 2 +Δy , 当Δx=1时,割线 AB的斜率为________. 【解析】 Δy= 1 2+Δx -1 - 1 2 -1 = 1 2+Δx - 1 2 = 2-2+Δx 22+Δx = -Δx 22+Δx , ∴ Δy Δx = -Δx 22+Δx Δx =- 1 22+Δx , 即 k=Δy Δx =- 1 22+Δx . ∴当Δx=1时,k=- 1 2×2+1 =- 1 6 . 【答案】 - 1 6 8.已知函数 f(x)=1 x ,则 f′(2)=________. 【解析】 limΔx→0 f2+Δx-f2 Δx = limΔx→0 -Δx 22+Δx Δx = limΔx→0 -1 22+Δx =- 1 4 . 【答案】 - 1 4 三、解答题 9.求 y=x2+1 x +5在 x=2处的导数. 【解】 ∵Δy=(2+Δx)2+ 1 2+Δx +5- 22+1 2 +5 =4Δx+(Δx)2+ -Δx 22+Δx , ∴ Δy Δx =4+Δx- 1 4+2Δx , ∴y′|x=2= limΔx→0 Δy Δx = limΔx→0 4+Δx- 1 4+2Δx =4+0- 1 4+2×0 = 15 4 . 10.若函数 f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不 大于-1,求Δx的范围. 【导学号:26160069】 【解】 因为函数 f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为: Δy Δx = f2+Δx-f2 Δx = -2+Δx2+2+Δx--4+2 Δx = -4Δx+Δx-Δx2 Δx =-3-Δx, 所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2. 又因为Δx>0, 即Δx的取值范围是(0,+∞). [能力提升] 1.函数 y=x2在 x0到 x0+Δx之间的平均变化率为 k1,在 x0-Δx 到 x0之间的平均变化率为 k2,则 k1与 k2的大小关系为( ) A.k1>k2 B.k1