2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 5页

绝密★启用前 试卷类型：A 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试 数 学（理科） 2020.3‎ 本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．设，则的虚部为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为 ‎34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 ‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D. ‎ ‎4．记为等差数列的前项和，若，，则为 ‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D. ‎ ‎5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为 ‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D. ‎ ‎6．已知，则 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．的展开式中的系数为 ‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D. ‎ 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页 ‎8．函数的图像大致为 ‎ A B C D ‎ （第9题图）‎ 第9题图 ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 的三视图，则该四面体的外接球表面积为 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长为 的圆上，则的最大值为 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数 ‎ 最多为 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．‎ ‎13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．‎ ‎14．设数列的前项和为，若，则___________． ‎ 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页 ‎15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为___________． ‎ ‎16．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则的最大值为___．‎ 三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎(一 ) 必考题：共 60 分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（第18题图）‎ 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别在棱，上，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，‎ 求二面角的正弦值. ‎ ‎ ‎ 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，为中点，且.‎ ‎（1）当时，求点的坐标；‎ ‎（2）当时，求直线的方程.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：‎ 潜伏期（单位:天）‎ 人数 ‎（1） 求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；‎ 潜伏期天 潜伏期天 总计 岁以上（含岁）‎ 岁以下 总计 ‎（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ ‎ 附：‎ ‎，其中.‎ 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数）‎ ‎ （1）若，求函数的极值点个数； ‎ ‎（2）若函数在区间上不单调，证明：. ‎ ‎（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若，求直线的普通方程．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知为正数，且满足 证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页