【数学】2019届一轮复习北师大版三角形中的不等和最值问题学案 5页

热点六 三角形中的不等和最值问题 新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域； 纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学 看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1 三角形中的不等关系 三角形中的不等关系主要有 1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3.设角A是一三角形的内角,则;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键.学 ‎ 例1钝角三角形的三边为， ， ，其最大角不超过，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2 三角形的不等与三角变换 ‎ 解三角形主要用到四点 一是正余弦定理；二是大边对大角,大角对大边；三是设角A是一三角形的内角，则；四是三角形的面积公式.用三恒等变形公式按目的进行变形化简是关键.‎ 例2【2018届江西省 12联盟高三教育质量检测】已知的内角、、‎ 的对边分别是、、，且 ，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴,又 ‎∴的取值范围为 故选 B.‎ ‎3 三角形中不等与向量 以向量为载体 描述三角形中的条件，然后解三角形，是近年 是常见高考题型，这种题目不仅要求学生熟悉应用正余弦理解三角形，同时还要求学生有不错的向量知识才能读懂题目，从而顺利作答．‎ 例3已知向量a,b满足，则的最小值是___________，最大值是______。‎ ‎【答案】 4 学_ _ ]‎ ‎4．三角形中最值与基本不等式 对于三角形中的最值,很多时间同时也考查基本不等式,不仅要注意正余弦定理的应用,三角恒等变形,同时还要注意构造使用基本不等式的条件,以便使用基本不等式解决问题.‎ 例4在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ‎（1）判断△ABC的形状，并加以证明；学 ‎ ‎（2）当c = 1时，求△ABC周长的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）ABC周长的最大值为 .‎ ‎【解析】试题分析 （1）由可得 即cosA= ，即b=c×cosA ‎ 由余弦定理得 ∴c2=a2+b2即得三角形形状（2）由（1）知△ABC为直角三角形，c为斜边，当c=1时设另两直角边长分别为a，b，则a2+b2=1 ∵∴△ABC周长=1+a+b 即得△ABC周长的最大值.‎ 试题解析 [ | | ]‎ ‎（1）原式可得 ‎ 即cosA= 即b=c×cosA ‎ 由余弦定理得 ‎ ‎∴c2=a2+b2 即△ABC为直角三角形 ‎ ‎（2）由（1）知△ABC为直角三角形，c为斜边 当c=1时设另两直角边长分别为a，b a2+b2=1 ‎ ‎∵‎ ‎∴△ABC周长=1+a+b ‎ 当且仅当a=b即 △ABC为等腰直角三角形时取等号. ‎ ‎∴△ABC周长的最大值为 ‎ ‎5 三角形中的最值与函数 对于三角形中的最值,不仅可能用到基本不等式 求解,很多时候也要用到三角函数的性质,或是求函数的最值的方法 如单调性法,导数法,图象法等等.‎ 例5【新疆维吾尔自治区普通高中学业水平】甲船在A处.乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲.乙两船相距最近？ ‎ ‎【答案】小时后，甲乙两船相距最近.‎ ‎【解析】试题分析 设经过小时后，甲船和乙船分别到达， 两点则， ， ，由此知当时，甲．乙两船相距最近 ‎ ‎【反思提升】综合上面的五种类型，解决三解形中的不等与最值问题，涉及到三角函数知识和较多的数学思想、方法；解三角形主要知识是正、余弦定理，同时三角恒等变形能力以及计算能力和按照目的进行分析问题、解决问题的能力要求也是比较高的；不等关系和最值处理的常用方法 利用三角形中的有关结论转化为基本不等式 解决或是转化为函数的最值 加以解决.‎