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- 2021-06-16 发布
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第二节 函数的基本性质
一 考查热点:以函数基本性质的应用为主,函数的单调性、奇偶性常与函数的其它性质如周期性、对称性结合,求函数值或参数的取值范围。
二 要点小结:
1. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
(2)确定f(-x)与f(x)的关系;
(3)作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
2.设 的定义域分别是 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,
奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 : ]
3. 判断函数单调性或确定单调区间的方法:(1)利用已知函数单调性;(2)定义法;(3)图像法;(4)导数法;(5)复合函数“同增异减”原则。[ :学| | ]
4.单调性常用结论:
(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同;
(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反;
(3)在公共定义域内:增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数。
5.周期性常用结论:
(1)函数满足,,关系,则 ;
(2)函数以为对称轴,则可以得到的周期为2(b-a);
(3)函数以为对称中心,则可以得到的周期为2(b-a);
(4)函数以为对称轴,以为对称中心,则可以得到的周期为4(b-a);
6.对称性常用结论:
,则函数的图像关于直线对称
或则函数的图像关于直线对称
或则函数的图像关于中心对称
三 典例分析
例1(2014大纲)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )
A. -2 B.-1 C. 0 D. 1
例2(2015陕西)设f(x)=x-sinx,则f(x)
(A)既是奇函数又是减函数 (B)既是奇函数又是增函数
(C)是有零点的减函数 (D)是没有零点的奇函数
例3(2016天津)已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
例4 (2015福建)若函数满足,且在单调递增,则实数的最小值等于_______.
四 真题演练
1. (2014广东) 下列函数为奇函数的是
2. (2014北京)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.(2014湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
4.(2014山东) 对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是
(A) (B) (C) (D)
5.(2014新课标1)设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
6(2014陕西)下列函数中,满足“”的单调递增函数是( )
(A) (B) (C) 1/2 (D)
7. (2014重庆)下列函数为偶函数的是( )
8. (2015安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是
(A) y=lnx (B) (C)y=sinx (D)y=cosx
9.(2015北京)下列函数中为偶函数的是( )
(A)y=x²sinx (B)y=x²cosx (C)y=|ln x| (D)y=2x
10.(2015福建)下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
11、(2015广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
12.(2015山东)若函数 是奇函数,则使 成立的的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
13. (2015湖南)设函数,则是
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
14.(2016北京)下列函数中,在区间 上为减函数的是
(A) (B) (C) (D)
15. (2016上海)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为的三个函数.对于命题:①若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数;②若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )
(A)①和②均为真命题 (B) ①和②均为假命题
(C)①为真命题,②为假命题 (D)①为假命题,②为真命题
16. (2015新课标2)设函数,则使得成立的的取值范围是
A. B. C. D.
17. (2016新课标2)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
18. (2014湖南)若是偶函数,则____________.
19.(2016四川)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0