人教新课标A版高一数学2-3-2等差数列的前n项和(二)） 2页

备课资料 等差数列的几个性质 等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前 n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理 整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较， 过程要简捷得多. 【性质 1】 已知等差数列{an}，m、p、q∈N*，若存在实数λ使     1 qpm (λ≠-1), 则     1 qp m aaa . 证明：由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线， 由斜率公式得 mq aa pm aa mqpm    ，因为     1 qpm ，所以   qm mp . 所以λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即     1 qp m aaa . 评析：特别地,当λ=1 时，2am=ap+aq，我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点公式. 【性质 2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,若    k i i k i i mn 11 . 则    k i m k i m aa 11 . 证明：设等差数列{an}的公差为 d.根据 ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k, 则        k i mi k i k i k i iimi k i ni admnaa 11 1 11 )( .所以    k i mi k i ni aa 11 推论：等差数列{an}，n i，m∈N *，i=1,2,3,…,k,若    k i inkm 1 .则    k i nm i aka 1 . 评析：本性质实质上是等差中项性质的推广. 【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d.n，m∈N*, 则 dnmn S m S nm )(2 1  . 证明:因为 mn mSnS n S m S nmnm  = mn dnnnamdmmman ]2 )1([]2 )1([ 11  = mn dnmnmnadmmnmna 2 )1( 2 )1( 11  = dmn mnmnmnnm 2 22  = dmn mnnm 2 22  = dmn nmmn 2 )(  = dnm )(2 1  所以 dnmn S m S nm )(2 1  . 评析：实质上数列   n Sn 是公差为 2 d 的等差数列. 【性质 4】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d.n，m∈N *,则 S m+n=Sm+Sn+mnd. 证明：因为 Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m) =Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd) =Sn+(a1+a2+…+am)+mnd =Sm+Sn+mnd， 所以 Sm+n=Sm+Sn+mnd. 【性质 5】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn，若 m=p+q(m、p、q∈N*且 p≠q), 则有 qp SS m S qpm   . 证明：设等差数列{an}的公差为 d. 因为 Sp-Sq=pa1+ 2 1 p(p-1)d-qa1- 2 1 q(q-1)d=(p-q)［a1+ 2 1 (p+q-1)d］， 所以 dqpaqp SS qp )1(2 1 1   .又因为 dmam Sm )1(2 1 1  且 m=p+q， 所以有 qp SS m S qpm   . 推 论 ： 等 差 数 列 {an} 前 n 项 和 为 Sn ， 若 m+t=p+q(m 、 t 、 p 、 q∈N* 且 m≠t,p≠q), 则 qp SS tm SS qptm    . 【性质 6】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn. (1)当 n=2k(k∈N*)时，S2k=k(a k+ak+1); (2)当 n=2k-1(k∈N*)时，S2k-1=kak.