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- 2021-06-16 发布
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1.抛物线的概念
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【知识拓展】
1.抛物线y2=2px (p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离PF=x0+,也称为抛物线的焦半径.
2.y2=ax的焦点坐标为,准线方程为x=-.
3.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)弦长AB=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × )
(4)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F(,0)的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长AB=x1+x2+p.( √ )
1.(2016·四川改编)抛物线y2=4x的焦点坐标是______.
答案 (1,0)
解析 ∵对于抛物线y2=ax,其焦点坐标为,
∴对于y2=4x,焦点坐标为(1,0).
2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则PQ=________.
答案 8
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,PQ=PF+QF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则·=________.
答案 -
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意知过焦点的直线斜率不为0,
设其直线方程为x=ky+,
则由 得y2-2ky-1=0,
y1y2=-1,·=x1x2+y1y2=+y1y2=-1=-.
4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________________.
答案 y2=-8x或x2=-y
解析 设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).将P(-2,-4)代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y.
5.(2017·南京月考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为________.
答案 2
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,
圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,
则圆心为(3,0),半径为4.
又因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,
所以3+=4,解得p=2.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则PB+PF的最小值为________.
答案 4
解析 如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,
则P1Q=P1F.则有PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4.
即PB+PF的最小值为4.
引申探究
1.若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求PB+PF的最小值.
解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.
因为PB+PF的最小值即为B,F两点间的距离,
所以PB+PF≥BF=
==2,
即PB+PF的最小值为2.
2.若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1+d2的最小值.
解 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1=PF-1,
所以d1+d2=d2+PF-1.
易知d2+PF的最小值为点F到直线l的距离,故d2+PF的最小值为=3,
所以d1+d2的最小值为3-1.
思维升华 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
设P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为________.
答案
解析 如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,
由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到F的距离.
于是,问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小,
显然,连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点,
此时最小值为=.
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
例2 已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为__________.
答案 x2=16y
解析 ∵-=1的离心率为2,
∴=2,即==4,∴=3,=.
x2=2py(p>0)的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意得=2,∴p=8.故C2的方程为x2=16y.
命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,x1x2=;
(2)+为定值;
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(,0).
由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,
得y2=2p,即y2-2pmy-p2=0.(*)
则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.
因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,
所以x1x2===.
(2)+=+
=.
因为x1x2=,x1+x2=AB-p,代入上式,
得+==(定值).
(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则MN=(AC+BD)
=(AF+BF)=AB.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知AB=4,DE=2,则C的焦点到准线的距离为________.
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为______.
答案 (1)4 (2)
解析 (1)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),则圆的方程可设为x2+y2=r2(r>0),如图,
又可设A(x0,2),
D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0, ①
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,∴x+8=r2, ②
点D在圆x2+y2=r2上,
∴5+2=r2, ③
联立①②③,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为4.
(2)设AF=a,BF=b,分别过A、B作准线的垂线,
垂足分别为Q、P.
由抛物线的定义知,AF=AQ,BF=BP,
在梯形ABPQ中,2MN=AQ+BP=a+b.
AB2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.
又ab≤()2,
所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,
得AB≥(a+b),
所以≤=,
即的最大值为.
题型三 直线与抛物线的综合问题
命题点1 直线与抛物线的交点问题
例4 已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若·=0,则k=________.
答案 2
解析 抛物线C的焦点为F(2,0),则直线方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去y化简得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=4+,x1x2=4.
所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,
y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16.
因为·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0,
将上面各个量代入,化简得k2-4k+4=0,所以k=2.
命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(1)证明 由题意知,F,设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A,B,P,Q,
R.
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
k1====-=-b==k2.
所以AR∥FQ.
(2)解 设过AB的直线为l,设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a|·FD=|b-a|,
S△PQF=.
由题意可得|b-a|=,所以x1=1,x1=0(舍去).
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),
所以所求轨迹方程为y2=x-1(x≠1).
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式AB=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,定点A(2,0),若射线FA与抛物线C相交于点M,与抛物线C的准线相交于点N,则FM∶MN=________.
答案 1∶3
解析 由题意得F(0,1),
∴直线AF的方程为+=1,
将它与抛物线方程联立解得或
又交点在第一象限,
∴M(,),准线方程为y=-1.
故易求得N(4,-1).
∴由三角形相似性质得==.
7.直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例 (16分)已知抛物线C:y=mx2(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标;
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;
(3)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
思维点拨 (3)中证明·=0.
规范解答
解 (1)∵抛物线C:x2=y,∴它的焦点F(0,). [2分]
(2)∵RF=yR+,∴2+=3,得m=. [4分]
(3)存在实数m,使△ABQ定以Q为直角顶点的直角三角形.
联立方程
消去y,得mx2-2x-2=0,
依题意,有Δ=(-2)2-4×m×(-2)>0⇒m>-. [7分]
设A(x1,mx),B(x2,mx),则 (*)
∵P是线段AB的中点,∴P(,),
即P(,yP),∴Q(,). [9分]
得=(x1-,mx-),=(x2-,mx-),
若存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形,则·=0,
即(x1-)·(x2-)+(mx-)(mx-)=0, [12分]
结合(*)化简得--+4=0,
即2m2-3m-2=0,∴m=2或m=-,
而2∈(-,+∞),-∉(-,+∞).
∴存在实数m=2,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. [16分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤
第一步:联立方程,得关于x或y的一元二次方程;
第二步:写出根与系数的关系,并求出Δ>0时参数范
围(或指出直线过曲线内一点);
第三步:根据题目要求列出关于x1x2,x1+x2(或
y1y2,y1+y2)的关系式,求得结果;
第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.
1.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为____________.
答案 y2=8x
解析 由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+,
联立消去x得y2-2pmy-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
得·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2=-p2=-12⇒p=4,
即抛物线C的方程为y2=8x.
2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为______________.
答案 x=-1
解析 ∵y2=2px(p>0)的焦点坐标为(,0),
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,
即x=y+,将其代入y2=2px,得y2=2py+p2,
即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2p,∴=p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
3.(2016·苏北四市联考)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,MF=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为____________.
答案 y2=4x或y2=16x
解析 ∵抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F(,0),
∴OF=,
∵以MF为直径的圆过点(0,2),设A(0,2),连结AF,AM,可得AF⊥AM,在Rt△AOF中,AF= ,
∴sin∠OAF==,
根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于点A,
∴∠OAF=∠AMF,可得在Rt△AMF中,sin∠AMF==,
∵MF=5,AF= ,
∴ =,
整理得4+=,解得p=或p=,
∴C的方程为y2=4x或y2=16x.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于________.
答案 -4
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴,
则x1=x2=,∴x1x2=,
∴y1=p,y2=-p,∴y1y2=-p2,
∴=-4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴,
可设AB的直线方程为y=k(x-),
联立y2=2px,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,
则x1x2=,x1+x2=p+,
∴y1y2=-p2.故=-4.
5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若BC=2BF,且AF=3,则此抛物线的方程为____________.
答案 y2=3x
解析 如图,分别过A、B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:AF=AA1,BF=BB1,
∵BC=2BF,
∴BC=2BB1,∴∠BCB1=30°,
∴∠AFx=60°,连结A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则KF=A1F1=AA1=AF,即p=,∴抛物线方程为y2=3x.
6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,若点A(-1,0),则的最小值是______.
答案
解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
如图,过P作PN垂直直线x=-1于N,
由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,
在Rt△PAN中,sin∠PAN=,
当=最小时,sin∠PAN最小,
即∠PAN最小,即∠PAF最大,
此时,PA为抛物线的切线,设PA的方程为y=k(x+1),
联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,
解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,
==cos∠NPA=.
7.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则AB=________.
答案 12
解析 焦点F的坐标为.
方法一 直线AB的斜率为,
所以直线AB的方程为y=,
即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以AB=x1+x2+p=+=12.
方法二 由抛物线焦点弦的性质可得
AB===12.
8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),过抛物线上一点M(p,p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N,则NF∶FM=________.
答案 1∶2
解析 由题意知直线l的方程为y=2(x-),
联立方程
得4x2-5px+p2=0,∴N(,-p),
∴NF=+=p,MF=p+=p,
∴NF∶FM=1∶2.
9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,则直线AF的斜率为________.
答案
解析 抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点F(1,0),
设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题意得x0+1=5,所以x0=4,所以y=4x0=16,y0=4,从而点A(4,4),直线AF的斜率为k==.
10.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则AB=________.
答案 6
解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
准线方程为x=-2.
设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由题意,c=2,=,
可得a=4,b2=16-4=12.
故椭圆方程为+=1.
把x=-2代入椭圆方程,解得y=±3.
从而AB=6.
11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1,则点A的坐标为__________.
答案 (2,±2)
解析 如图所示,由题意,可得OF=1,由抛物线的定义,
得AF=AM,
∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1,
∴
==3,
∴AF=AM=3,设A,
∴+1=3,∴=2,y0=±2,
∴点A的坐标是(2,±2).
*12.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是________________.
答案 (2,4)
解析 如图,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则
两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.
当k存在时,x1≠x2,
则有·=2,
又y1+y2=2y0,所以y0k=2.
由CM⊥AB,得k·=-1,
即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,
即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x,
得y2=12,则有-24(为保证有4条,在k存在时,y0≠0),
所以40)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点,点A关于y轴的对称点为A′,连结A′B.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)问直线A′B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
解 (1)将点(2,1)代入抛物线C的方程得2p=4,
解得p=2,∴抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)若直线l斜率不存在,则显然不成立,则直线l的斜率k一定存在.
设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
则A′(-x1,y1).由
得x2-4kx+4=0,
则Δ=16k2-16>0,x1x2=4,x1+x2=4k,
∴kA′B===,
于是直线A′B的方程为y-=(x-x2),
∴y=(x-x2)+=x+1,
当x=0时,y=1,∴直线A′B过定点(0,1).
14.(2015·福建)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且AF=3.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF=2+.
因为AF=3,即2+=3,解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)证明 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由
得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),所以kGA==,
kGB==-.
所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
方法二 (1)解 同方法一.
(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由
得2x2-5x+2=0.
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),
故直线GA的方程为2x-3y+2=0.
从而r==.
又直线GB的方程为2x+3y+2=0.
所以点F到直线GB的距离
d===r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.