【数学】2018届一轮复习苏教版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案（江苏专用） 11页

‎1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎3.全称命题和存在性命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x∈M，綈p(x)‎ ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；‎ ‎(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；‎ ‎(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.‎ ‎2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.(　×　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题.(　√　)‎ ‎(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.(　√　)‎ ‎(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.(　×　)‎ ‎(5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.(　×　)‎ ‎(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(　×　)‎ ‎1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是______________.‎ 答案　∀x>－1，x2＋x－2 016≤0‎ 解析　命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”.‎ ‎2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.‎ ‎3.(教材改编)若不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________.‎ 答案　a>1‎ 解析　方法一　不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立.‎ 结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.‎ 方法二　不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max，而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为＝1，所以a>1.‎ ‎4.已知实数a满足11且2－a>0，即10；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号)‎ ‎①p∧q ②(綈p)∧(綈q)‎ ‎③(綈p)∧q ④p∧(綈q)‎ ‎(2)(2016·盐城模拟)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则p________，q________.(填“真”或“假”)‎ 答案　(1)④　(2)假　真 解析　(1)∵p是真命题，q是假命题，‎ ‎∴p∧(綈q)是真命题.‎ ‎(2)∵綈p为真命题，∴p为假命题，‎ 又∵p∨q为真命题，∴q为真命题.‎ 思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p、q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.‎ ‎　已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________.‎ 答案　②③‎ 解析　当x>y时，－x<－y，‎ 故命题p为真命题，从而綈p为假命题.‎ 当x>y时，x2>y2不一定成立，‎ 故命题q为假命题，从而綈q为真命题.‎ 由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q 为假命题.‎ 题型二　含有一个量词的命题 命题点1　全称命题、存在性命题的真假 例2　(1)(2016·宿迁模拟)命题p：∃x∈N，x3x；‎ ‎③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；‎ ‎④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.‎ 答案　①‎ 解析　命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题.‎ 题型三　求含参数命题中参数的取值范围 例4　(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________.‎ ‎(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________.‎ 答案　(1)[－12，－4]∪[4，＋∞)　(2)[，＋∞)‎ 解析　(1)若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，‎ 即a≤－4或a≥4；‎ 若命题q是真命题，则－≤3，即a≥－12.‎ ‎∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，‎ ‎∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞).‎ ‎(2)当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，‎ g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，‎ 得0≥－m，所以m≥.‎ 引申探究 在例4(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.‎ 答案　[，＋∞)‎ 解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，‎ 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.‎ 思维升华　(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.‎ ‎　(1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________.‎ 答案　(1)[e,4]　(2)(－∞，0)‎ 解析　(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.‎ ‎(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，‎ 当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0).‎ ‎1.常用逻辑用语 考点分析　有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.‎ 一、命题的真假判断 典例1　(1)已知命题p：∃x0∈R，x＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－45”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；‎ ‎③命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0；‎ ‎④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.‎ 解析　(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，‎ 即x2＋1≥2x，所以p为假命题；‎ 对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，‎ 所以命题q为假命题.‎ 综上可知，綈p为真命题，p∧q为假命题，p∨q为假命题.‎ ‎(2)对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x2－4x－5>0可得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.‎ 答案　(1)③　(2)2‎ 二、求参数的取值范围 典例2　(1)已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________.‎ 解析　(1)由<1，得－1＝<0，‎ 即(x－2)(x＋1)>0，解得x<－1或x>2，‎ 由p是q的充分不必要条件，知k>2.‎ ‎(2)∵x∈[，3]，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0.‎ 答案　(1)(2，＋∞)　(2)(－∞，0]‎ 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例3　(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ ‎(2)对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：‎ 甲：中国非第一名，也非第二名；‎ 乙：中国非第一名，而是第三名；‎ 丙：中国非第三名，而是第一名.‎ 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.‎ 解析　(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.‎ ‎(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.‎ 答案　(1)A　(2)一 ‎1.命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是________.(填序号)‎ ‎①p∨q ②p∧q ‎③q ④綈p 答案　②‎ 解析　命题p假，q真，故命题p∧q为假命题.‎ ‎2.已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是__________.‎ 答案　(－1,3)‎ 解析　依题意可知“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，即(a＋1)(a－3)<0，解得－10；‎ ‎③p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0；‎ ‎④p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.‎ 答案　②‎ 解析　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，‎ ‎∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.‎ ‎4.已知p：∀x∈R，x2－x＋1>0，q：∃x0∈(0，＋∞)，sin x0>1，则下列命题为真命题的是________.(填序号)‎ ‎①p∨(綈q) ②(綈p)∨q ‎③p∧q ④(綈p)∧(綈q)‎ 答案　①‎ 解析　因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0恒成立，所以命题p是真命题；∀x∈R，sin x≤1，所以命题q是假命题，所以p∨(綈q)是真命题.‎ ‎5.(2016·泰州期末)若命题“∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(2，＋∞)‎ 解析　 “∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“∀x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时， 解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞).‎ ‎6.(2016·南京模拟)已知命题p：∀x∈R，x31，∴命题p为假命题；‎ 若sin x－cos x＝sin(x－)＝－，‎ 则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴命题q为真命题，∴(綈p)∧q为真命题.‎ ‎7.(2017·江苏淮安中学月考)已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________.‎ 答案　[－8，＋∞)‎ 解析　由已知得，∃x∈[1,2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min.而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.‎ ‎8.设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根.则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是__________.‎ 答案　(－∞，－2]∪[－1,3)‎ 解析　p：x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，‎ 即m＜－1.‎ q：x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，‎ Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋10)＝4(m2－m－6)＜0，‎ 即－2＜m＜3.‎ 分两种情况：①p真q假，m≤－2；②p假q真，－1≤m＜3.‎ 综上可知，使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3).‎ ‎9.下列命题中的假命题是________.(填序号)‎ ‎①∀x∈R,2x－1>0 ②∀x∈N*，(x－1)2>0‎ ‎③∃x0∈R，lg x0<1 ④∃x0∈R，tan＝5‎ 答案　②‎ 解析　①中，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；②中，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；③中，当x0＝时，lg ＝－1<1；④中，当x∈R时，tan x∈R，∴∃x0∈R，tan＝5.‎ ‎10.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p为______________.‎ 答案　∃x∈A,2x∉B 解析　命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题.‎ ‎∴綈p：∃x∈A,2x∉B.‎ ‎11.已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(，1)∪(1，＋∞)‎ 解析　∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，‎ 命题“∀x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，‎ ‎∴原命题的否定是：“∃x∈(0,1)，使f(x)＝0”是真命题，∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，‎ ‎∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>，且a≠1，‎ ‎∴实数a的取值范围是(，1)∪(1，＋∞).‎ ‎12.已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________________.‎ 答案　(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)‎ 解析　因为“(綈q)∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，即20，解得x>1或x<－3，由得x≥3或1＜‎ x≤2或x<－3，‎ 所以x的取值范围是{x|x≥3或1＜x≤2或x＜－3}.‎ ‎13.(2016·连云港模拟)已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)·(x＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________.‎ 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ 解析　由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.‎ ‎14.已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________. ‎ 答案　(－∞，1]‎ 解析　若綈p是假命题，则p是真命题，‎ 即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，‎ 由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，‎ ‎∴m≤1.‎ ‎ 15.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2).‎ ‎(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；‎ ‎(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________.‎ 答案　(1)[3，＋∞)　(2)(1，]‎ 解析　(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞).‎ ‎(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则 解得a∈(1，].‎