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- 2021-06-16 发布
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第二节 等差数列
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.用符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫作a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+=.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d等于( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
D [依题意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故选D.]
3.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7
C.9 D.11
A [a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5==5a3=5.]
4.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )
A.100 B.99
C.98 D.97
C [法一:∵{an}是等差数列,设其公差为d,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
又∵a10=8,∴∴
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
法二:∵{an}是等差数列,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
在等差数列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.
故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.]
5.(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.
【导学号:57962239】
16 [由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an},
则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.
由an=6n≤100,即n≤16=16,
则在100以内有16个能被6整除的数.]
等差数列的基本运算
(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( )
A. B.
C.10 D.12
(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )
【导学号:57962240】
A.9 B.10
C.11 D.15
(1)B (2)B [(1)∵公差为1,
∴S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.
∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,
∴a10=a1+9d=+9=.
(2)设等差数列{an}的公差为d,依题意解得
∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.]
[规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想的应用.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法,称为基本量法.
[变式训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是( )
A. B.1
C.2 D.3
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=__________.
【导学号:57962241】
(1)C (2)-72 [(1)∵Sn=,∴=,又-=1,
得-=1,即a3-a2=2,
∴数列{an}的公差为2.
(2)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由已知,得解得
∴S16=16×3+×(-1)=-72.]
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}中的通项公式an.
[解] (1)证明:因为an=2-(n≥2,n∈N*),
bn=.
所以n≥2时,bn-bn-1=-
=-=-=1. 5分
又b1==-,
所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列. 7分
(2)由(1)知,bn=n-, 9分
则an=1+=1+. 12分
[规律方法] 1.判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
2.用定义证明等差数列时,常采用两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时,a0无定义.
[变式训练2] (1)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( )
【导学号:57962242】
A.公差为3的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N*且n≥2),则a61=__________.
(1)C (2)480 [(1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2)
=(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2)
=2+2×2=6,
∴{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.
(2)由已知Sn-Sn-1=2可得,-=2,所以{}是以1为首项,2为公差的等差数列,故=2n-1,Sn=(2n-1)2,所以a61=S61-S60=1212-1192=480.]
等差数列的性质与最值
(1)(2017·东北三省四市一联)
如图521所示的数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列,如果数阵中所有数之和等于63,那么a52=( )
【导学号:57962243】
图521
A.2 B.8
C.7 D.4
(2)等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn取得最大值.
(1)C [法一:第一行三数成等差数列,由等差中项的性质有a41+a42+a43=3a42,同理第二行也有a51+a52+a53=3a52,第三行也有a61+a62+a63=3a62,又每列也成等差数列,所以对于第二列,有a42+a52+a62=3a52,所以a41+a42+a43+a51+a52+a53+a61+a62+a63=3a42+3a52+3a62=3×3a52=63,所以a52=7,故选C.
法二:由于每行每列都成等差数列,不妨取特殊情况,即这9个数均相同,显然满足题意,所以有63÷9=7,即a52=7,故选C.]
(2)法一:由S3=S11,可得3a1+d=11a1+d, 4分
即d=-a1. 7分
从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,
因为a1>0,所以-<0. 9分
故当n=7时,Sn最大. 12分
法二:由法一可知,d=-a1.
要使Sn最大,则有 5分
即 9分
解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大. 12分
法三:由S3=S11,可得2a1+13d=0,
即(a1+6d)+(a1+7d)=0, 5分
故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0, 9分
所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大. 12分
[规律方法] 1.等差数列的性质
(1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an.
2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
[变式训练3] (1)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=( )
【导学号:57962244】
A.18 B.99
C.198 D.297
(2)已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=__________.
(1)B (2)20 [(1)因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.
(2)法一:设数列{an}的公差为d,则a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.
法二:由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18
成等差数列,设此数列公差为D.
所以5+2D=10,
所以D=.
所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.]
[思想与方法]
1.等差数列的通项公式,前n项和公式涉及“五个量”,“知三求二”,需运用方程思想求解,特别是求a1和d.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….
2.等差数列{an}中,an=an+b(a,b为常数),Sn=An2+Bn(A,B为常数),均是关于“n”的函数,充分运用函数思想,借助函数的图像、性质简化解题过程.
3.等差数列的四种判断方法:
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
[易错与防范]
1.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.
3.求等差数列的前n项和Sn的最值时,需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件.