福建省福州市八县市一中2021届高三数学上学期期中联考试题（Word版附答案） 14页

1 2020-2021 学年度第一学期八县（市）一中期中试卷 高中三年数学科试卷 命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师： 考试日期：11 月 12 日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 d ͷ ， d 晦 ，则 d （ ） A． 晦 B． ǡǡǡͷǡ C． 晦 D． 晦ǡǡ晦ǡǡǡǡͷǡ 2．已知 p ：“函数 2 2 1y x ax   在 (1, ) 上是增函数”， q：“ ‴ ”，则 p 是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条 件 3．已知函数  f x 是定义在 R 上的偶函数，且函数  f x 在[0, ) 上是减函数，如 果 d 晦 ，则不等式 晦 晦 的解集为（ ） A． ， B． ， C． ， D． 晦 ， 4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ） A．直线 AB 与直线 CD 平行 B．直线 AB 与直线 CD 相交 C．直线 AB 与直线 CD 异面且垂直 D．直线 AB 与直线 CD 异面且所成的角为 60° 5．记 nS 为正项等比数列 na 的前 n 项和，若 d 晦 ， d ͷ ，则 d （ ）． A． d 晦 B． d C． d D． d 晦 6．已知 ‴ ， ‴ ， d ，则 晦 的最小值为（ ） A．36 B．16 C．8 D．4 2 7．已知函数 ( ) sin( )f x x   （ 0 ，| | 2   ），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4  ，将函数 ( )y f x 的图象向左平移 3 16  个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数 ( )y f x 的图象（ ） A．关于点 ,016     对称 B．关于点 ,016      对称 C．关于直线 d 对称 D．关于直线 d 对称 8．已知可导函数 ( )f x 的定义域为 ( ,0) ，其导函数 ( )f x 满足 ( ) 2 ( ) 0xf x f x   ，则不等式 2(2020 ) ( 2020) ( 1) 0f x x f     的解集为（ ） A． ( , 2021)  B． ( 2021, 2020)  C． ( 2021,0) D． ( 2020,0) 二、选择题（每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 5 分， 有选错的得 0 分，部分选对得 3 分） 9．已知复数 z 满足 (2 i) iz   ( i 为虚数单位 ) ，复数 z 的共轭复数为 z ，则（ ） A． 3| | 5z  B． 1 2i 5z   C．复数 z 的实部为 1 D．复数 z 对应复平面上的点在第二象限 10．已知 (2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ） A． ； B．四边形 ABCD 为平行四边形； C． 与 夹角的余弦值为 7 29 145 ； D． d ͷ 11．在 ∆ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， 若 2 2 210, sina a b c ab C    ， cos sina B b A c  ，则下列结论正确的是（ ） 3 A． tan 2C  B． 4A  C． 2b  D． ∆ABC 的面积为 6 12．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB BC ， 1AB BC BB  ，D 是 AC 的中点，O 为 1AC 的中点. 点 P 是 1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．当点 P 运动到 1BC 中点时，直线 1AP 与平面 1 1 1A B C 所成的角的正切值为 5 5 B．无论点 P 在 1BC 上怎么运动，都有 1 1A P OB C．当点 P 运动到 1BC 中点时，才有 1AP 与 1OB 相交于一点，记为Q ，且 1 1 3 PQ QA  D．无论点 P 在 1BC 上怎么运动，直线 1AP 与 AB 所成角都不可能是 30° 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若 10cos 4 10       ，则 sin 2  ________． 14．已知数列 na 的前 n 项和 d 晦 ，则 na  __________． 15．在三棱锥 P ABC 中，平面 垂直平面 ABC ， d d d d ， 120BAC   ， 则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为_________ . 16．函数  f x 满足    1 1f x f x   ，当 1x  时，   ln xf x x  ，若    2 2 4 0f x mf x m   有8 个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是______. 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分 10 分） 已知 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 d 4 （1）求 na 的通项公式； （2）设 d 晦 香䁘香䁘晦 ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 18．（本小题满分 12 分） 在① 香䁡 香䁡 香䁡 d 䁡ܾ ，② 䁡ܾ d 䁡ܾ ， ③   2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C    这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知 ∆ 的角 A ， B ，C 对边分别为 , ,a b c ， 3c  ，而且______． （1）求 C ； （2）求 ∆ 周长的范围． 19．（本小题满分 12 分） 已知如图①，在菱形 ABCD 中， 60A   且 2AB  ，E 为 AD 的中点，将 ABE△ 沿 BE 折起使 2AD  ， 得到如图②所示的四棱锥 A BCDE . （1）求证：平面 ABE  平面 ABC ； （2）若 P 为 AC 的中点，求二面角 P BD A 5 的余弦值. 20．（本小题满分 12 分） 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为 2km ，C、D 两 点在半圆弧上满足 AD BC ，设 COB   ，现要在此农庄铺设一条观 光通道，观光通道由 , ,AB BC CD 和 DA 组成． （1）若 d ，求观光通道 l 的长度； （2）用 表示观光通道的长 l，并求观光通道 l 的最大值； 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 d 的极值为 晦 . （1）求 的值并求函数  f x 在 d 晦 处的切线方程； （2）已知函数 䁘 d ‴ ，存在．． x ， ，使得 䁘 成立，求 得最大值。 6 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 d 晦 ‴ ， x . （1）当 d 晦 时，讨论函数 y d 的单调性； （2）若不等式 晦 在 [0, )x  时恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）证明： 晦 晦 ͷ 晦 晦 晦 晦 晦 . 7 2020-2021 学年度第一学期八县（市）一中期中试卷 高中三年数学科试卷 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的） 1-5: B A C DD 6-8: C A B 二、选择题题（每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分） 9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABD 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. ͷ 14. d ， d 晦 ， 15. ͷ 16. ， e e 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分 10 分） 解：（1）因为  3 12n nS a  ， 所以  1 1 3 12n nS a   . 相减得  1 1 3 2n n n nS S a a    ， 2 分 所以  1 1 3 2n n na a a   ， 所以 1 3n na a  . 又  1 1 1 3 12S a a   ，解得 1 3a  ， 所以 na 是以 3为首项， 3为公比的等比数列，所以 1 1 3 3n n na a    ， 8 即 na 的通项公式为 3n na  . 5 分 （2）由（1）可得  3 3 1 1 1 log log 1n n n b a a n n    1 1 1n n    . 8 分 所以 1 2 1 1 1 1 1 1... ...1 2 2 3 1n nT b b b n n                           11 1 1 n n n     . 10 分 18．（本小题满分 12 分） 解：(1)选①: 由正弦定理得 cosC sinAcosB sinBcosA d sinCsinC 即： cosCsin A B d sinCsinC 2 分 因为 䁡ܾ ， d ， 3 分 因为 ， ， d 4 分 选②: 由正弦定理得 䁡ܾ䁡ܾ d 䁡ܾ䁡ܾ ， 因为 䁡ܾ ， 香䁡 d 䁡ܾ d 䁡ܾ 香䁡 2 分 因为 香䁡 ，所以 䁡ܾ d 晦 ， 3 分 因为 ， ， d 4 分 选③: 因为    2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C    , 所以     22 2 2a b a b a b c    ,即 2 2 2a b c ab   , 2 分 9 所以 2 2 2 cos 1 2 2 a b cC ab    , 3 分 因为 0 C   ,所以 3C  ; 4 分 (2)由(1)可知: 3C  , 在 ∆ 中,由余弦定理得 2 2 2 cos 3a b ab C   ,即 2 2 3a b ab   , 6 分 所以    2 2 33 3 4 a ba b ab     , 所以 2 3a b  ,当且仅当 a b 时等号成立, 10 分 所以 3 3a b c   ,即 ∆ 周长的最大值为3 3 . 又因为 a b ‴ c d ，所以 ∆ 周长的取值范围为 ， 12 分 19．（本小题满分 12 分） 解：（1）在图①中，连接 BD ，如图所示： 因为四边形 ABCD 为菱形， 60A   ，所以 ABD△ 是等边三角形. 因为 E 为 AD 的中点，所以 BE AE⊥ ， BE DE . 2 分 又 2AD AB  ，所以 1AE DE  . 在图②中， 2AD  ，所以 2 2 2AE ED AD  ，即 AE ED . 因为 //BC DE ，所以 BC BE ， BC AE⊥ . 4 分 又 d ， AE ， BE  平面 ABE . 所以 BC ⊥平面 ABE . 5 分 又 BC 平面 ABC ，所以平面 ABE  平面 ABC . 6 分 10 （2）由（1）知， AE DE ， AE BE . 因为 BE DE E  ， BE ， DE  平面 BCDE . 所以 AE ⊥平面 BCDE . 以 E 为坐标原点， EB ， ED ， EA 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则  0,0,0E ，  0,0,1A ，  3,0,0B ，  3,2,0C ，  0,1,0D . 因为 P 为 AC 的中点，所以 3 1,1,2 2P       . 所以 3 1, 1,2 2PB        uuur ， 3 1,0,2 2PD        uuur . 8 分 设平面 PBD 的一个法向量为  , ,m x y z ， 由 d d 得 3 1 02 2 3 1 02 2 x y z x z        . 令 3z  ，得 d 晦 ， ， . 11 设平面 BDA 的一个法向量为 n d 晦 ， 晦 ， 晦 . 因为 d ， ， 晦 ， d ， 晦 ， 晦 由 BA n d AD n d 得 x晦 z晦 d y晦 z晦 d 令 x晦 d 晦 得 d 晦 ， ， 10 分 设二面角 的大小为 ，由题意知该二面角为锐角. 则 香䁡 d d 晦 . 所以二面角 的余弦值为 晦 . 12 分 若有其他解法，可酌情给分！ 20．（本小题满分 12 分） （1）因为 d 所以∠ d ∠ d 1 分 在 ∆OCD 中，利用余弦定理可得 d 晦 晦 晦 晦 香䁡 d 所以 d 2 分 同理 d d d 3 分 所以观光通道长 d km 4 分 （2）作OE BC ，垂足为 E，在直角三角形OBE 中， sin sin2 2BE OB    ， 则有 2sin 2BC AD   ， 6 分 同理作OF CD ，垂足为 F， cos cosCF OC    ， 即： 2cosCD  ， 8 分 12 从而有： 2 2 12 4sin 2cos 4sin 4sin 4 4 sin 52 2 2 2 2l                   10 分 因为 θ ， ，所以当 3   时，l 取最大值 5，即观光通道长 l 的最大值为5km ． 12 分 若有其他解法，可酌情给分！ 21．（本小题满分 12 分） 解：（1） 定义域为 R 因为 d 晦 1 分 若 d 则 在 R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去 2 分 若 则令 d 得 d 晦 所以 晦 d 晦 解得 d 晦 3 分 经检验， d 晦 符合题意。 因为切线斜率 晦 d 晦 晦 晦 d 又因为 晦 d 所以切点为 晦 ， e所以切线方程为： d 晦 即切线方程为： d x 5 分 （2）因为存在 x ， ，使得 䁘 成立 则 即 m 即 mx d 即 mx 13 即 m （*） 6 分 由（1）得 d 晦所以 在区间 ， 晦 上单调递减，在区间 晦 ， 上单调递增 7 分 因为 ‴ ， ‴ ， m 所以 ‴ ，所以 ‴ 晦即 x ‴ 且 ‴ 所以存在 晦 ， 使得 m 所以存在 晦 ， 使得 即 lnx 晦 ， 令 s d lnx 所以 s max 9 分 因为 䁡 d 晦 d 得 d 所以 䁡 在区间 晦 ， 上单调递增，在区间 ， 单调递减 所以 䁡 的最大值为 䁡 d 晦 所以 晦 又因为 ‴ ，所以 m 晦 11 分 所以 m 的最大值为 晦 12 分 若有其他解法，可酌情给分！ 22．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 d 晦 所以 d 晦 晦 x晦 晦 d 所以 y d 在区间 ， 上单调递减；在区间 ， 上单调递增 3 分 14 （2）求导数可得 2 2 2 4 4 4 1 ( 2) ( 1)( 2) a ax ay ax x ax x         ， 当 晦 时， ，函数 d 在 0 ， 上单调递增； 当 0 1a  时，由 ‴ 可得 12 1x a   ， 函数在 12 1 +a      ， 上单调递增，在 10 2 1a      ， 上单调递减； 5 分 ①当 a 晦 时，函数 y d 在 0 ， 上单调递增， d 晦 ，即不等式 晦 ，在  0x  ， 时恒成立， ②当 0 1a  时，函数在 10 2 1a      ， 上单调递减， 存在 0 10 2 1x a       ， 使得 d 晦 ，所以不合题意，舍去。 综上可知实数 a 的取值范围为[1， ) ； 7 分 （3）由（2）得当 a d 晦 时，不等式 ‴ 晦 在 (0, )x  时恒成立， 即 2( 1) 2 xln x x    ， 1 2( 1) 1 2ln k k     ， *( )k N ． 9 分 即 1 1[ ( 1) ]1 2 2 ln k lnkk    ，  1 1 ( 2 1)3 2 ln ln  ， 1 1 ( 3 2)5 2 ln ln  ， 1 1 ( 4 3)7 2 ln ln  ， 1 1[ ( 1) ]2 1 2 ln n lnnn     ， 将上述式子相加可得 晦 晦 ͷ 晦 晦 晦 晦 晦 晦 d 晦 晦 原不等式得证． 12 分 若有其他解法，可酌情给分！