高中数学必修5教案：3_4基本不等式 12页

‎ 3．4．1基本不等式（1）‎ ‎【教学目标】‎ ‎1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；‎ ‎2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；‎ ‎3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 ‎【教学重点】‎ 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；‎ ‎【教学难点】‎ 基本不等式等号成立条件 ‎【教学过程】‎ ‎1.课题导入 基本不等式的几何背景：‎ 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，‎ 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。‎ ‎2 合作探究 ‎（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？‎ ‎（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。‎ ‎ 系）‎ 提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？‎ 生答：，‎ 提问3：那4个直角三角形的面积和呢？‎ 生答：‎ 提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？‎ 生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有 结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当 时，等号成立。‎ 提问5：你能给出它的证明吗？‎ ‎(学生尝试证明后口答,老师板书)‎ 证明: ‎ 所以 ‎ 注意强调 当且仅当时, ‎ ‎(2)特别地,如果,也可写成 ‎,引导学生利用不等式的性质推导 ‎(板书,请学生上台板演):‎ 要证: ①‎ 即证 ②‎ 要证②,只要证 ③‎ 要证③,只要证 ( - ) ④‎ 显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立 ‎(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 探究：课本中的“探究”‎ 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？‎ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝.‎ 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.‎ 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”‎ 评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.‎ 即学即练:‎ ‎1若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ ）‎ Ａ．　　　　　 Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a ‎ ‎2 ‎a‎,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 　）‎ Ａ．　　 Ｂ．　　‎ Ｃ．　　 Ｄ． ‎ 答案 B C 例题分析：‎ ‎ (1)＝2即≥2.‎ ‎(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0‎ ‎∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3‎ 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.‎ 变式训练：‎ ‎ Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少 ‎ 解析：因为Ｘ＞0， ‎ ‎ Ｘ+ ≥2=2 ‎ ‎ 当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2‎ ‎ 点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。‎ 当堂检测： ‎ ‎1.下列叙述中正确的是（ ）.‎ ‎（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ‎（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 ‎（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 ‎（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 ‎12下面给出的解答中，正确的是（ ）.‎ ‎（A）y＝x＋≥2＝2，∴y有最小值2‎ ‎（B）y＝|sinx|＋≥2＝4，∴y有最小值4‎ ‎（C）y＝x（－2x＋3）≤＝，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝1‎ ‎（D）y＝3－－ ≤3－2＝－3，y有最大值－3‎ ‎3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）.‎ ‎（A）4 （B）7 （C）8 （D）11‎ ‎4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）.‎ ‎（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数 ‎1 B 2.D 3 B 4 .A ‎ ‎ 基本不等式 ‎ ‎ 第一课时 课前预习学案 一、预习目标 不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。‎ 二、预习内容 一般地，对于任意实数 、，我们有，当 ，等号成立。‎ 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。‎ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ‎ 课内探究学案 教学目标 ，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义 教学重点】‎ 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；‎ ‎【教学难点】‎ 基本不等式等号成立条件 合作探究 1 证; ‎ ‎ 强调：当且仅当时, ‎ ‎ 特别地,如果,也可写成 ‎,引导学生利用不等式的性质推导 ‎ 证明: ‎ ‎ 结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 探究2：课本中的“探究”‎ 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释 练习 ‎1若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ ）‎ Ａ．　　　　　 Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a ‎ ‎2 ‎a‎,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 　）‎ Ａ．　　 Ｂ．　　‎ Ｃ．　　 Ｄ． ‎ ‎ 答案 B C 例题分析：‎ 已知x、y都是正数，求证：‎ ‎(1)≥2；‎ ‎ ( 2） Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少 ‎ 分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 1正2定3相等 变式训练：1已知x＜，则函数f（x）＝4x＋的最大值是多少？‎ ‎ 2 证明：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.‎ ‎ 分析：注意凑位法的使用。 ‎ 注意基本不等式的用法。‎ ‎ 当堂检测： ‎ ‎1.下列叙述中正确的是（ ）.‎ ‎（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ‎（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 ‎（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 ‎（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 ‎2下面给出的解答中，正确的是（ ）.‎ ‎（A）y＝x＋≥2＝2，∴y有最小值2‎ ‎（B）y＝|sinx|＋≥2＝4，∴y有最小值4‎ ‎（C）y＝x（－2x＋3）≤＝，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝1‎ ‎（D）y＝3－－ ≤3－2＝－3，y有最大值－3‎ ‎3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）.‎ ‎（A）4 （B）7 （C）8 （D）11‎ ‎4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）.‎ ‎（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数 答案 1 B 2.D 3 B 4.A 课后练习与提高 ‎ 1 已知 ① 如果积 ② 如果和 ‎ [拓展探究]‎ ‎2. 设a, b, c且a+b+c=1，求证：‎ 答案：1略 2 提示可用a+b+c换里面的1 ，然后化简利用基本不等式。‎ ‎ §‎3.4.2‎ 基本不等式的应用 ‎【教学目标】‎ ‎1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；‎ ‎2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。‎ ‎3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．‎ 教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件 教学过程：‎ 一、创设情景，引入课题 提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。‎ 讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；‎ ‎②如果和是定值，那么当时，积有最大值 二、探求新知，质疑答辩，排难解惑 1、 新课讲授 例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？‎ ‎（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？‎ 分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值 ‎（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）‎ 由 ，‎ 可得 ‎ ‎2（）‎ 等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为‎10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为‎40m ‎ (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，‎ ‎=18，矩形菜园的面积为，‎ 由 可得 ,‎ 可得等号当且仅当 ‎ 点评：此题用到了 如果是定值，那么当时，和有最小值；‎ 如果和是定值，那么当时，积有最大值 变式训练： 用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？‎ 解：设矩形的长为，则宽为，矩形面，且．‎ 由．（当且近当，即时取等号），‎ 由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．‎ 例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为‎4800m3‎,深为‎3m，如果池底每‎1m2‎的造价为150元，池壁每‎1m2‎的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？‎ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。‎ 解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得 ‎ ‎ 当 因此，当水池的底面是边长为‎40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。‎ 变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。‎ 解：设圆桶的底半径为分米，高为分米，圆桶的成本为元，则3‎ 求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式，得 ‎=‎ 当且仅当时，取“=”号。‎ ‎∴当1（分米），（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。‎ 点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，‎ 归纳整理，整体认识 ‎1．求最值常用的不等式：，，．‎ ‎2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．‎ ‎3.建立不等式模型解决实际问题 当堂检测：‎ ‎1 下列函数中，最小值为4的是： （　 　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ．　　　　 Ｄ．‎ ‎2. 设的最小值是( )‎ ‎ A. 10 B. C. D. ‎ ‎ 3函数的最大值为 .‎ ‎4建造一个容积为‎18m3‎, 深为‎2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.‎ ‎5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？‎ 答案：‎1C 2 D 3 4 3600 5 时，有最小值，‎ 基本不等式的应用 课前预习学案 一、预习目标 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题 二、预习内容 ‎1如果是定值，那么当时，和有最 ‎ ‎2如果和是定值，那么当时，积有最 ‎ ‎3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.‎ ‎4.若实数a、b满足a+b＝2,则‎3a+3b的最小值是_____.‎ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ‎ 课内探究学案 一、学习目标 ‎ 1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.‎ ‎2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.‎ ‎ 教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件 二、学习过程 例题分析：‎ 例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？‎ ‎（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？‎ 分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值 ‎（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 ‎ 解：‎ 变式训练：1用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？‎ ‎ 2一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？‎ 变式训练 答案 1 时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是和．‎ 例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为‎4800m3‎,深为‎3m，如果池底每‎1m2‎的造价为150元，池壁每‎1m2‎ 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？‎ ‎ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。‎ 答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000。‎ 变式训练：建造一个容积为‎18m3‎, 深为‎2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.‎ ‎ 答案：3600‎ 当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有　　　　　　　　　（3　 　）‎ Ａ．最大值16　 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16　　Ｄ．最大值 ‎2已知且满足,求的最小值.4‎ Ａ．16　 Ｂ20． Ｃ．14　　Ｄ．18‎ ‎3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？‎ 答案:‎1 C 2 D 3 时，有最小值， ‎ ‎ 课后复习学案 ‎1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．‎ ‎2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？‎ ‎3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站‎10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?‎ ‎ ‎