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- 2021-06-16 发布
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专题1:基本初等函数
问题归类篇
类型一:分段函数
一、前测回顾
1.已知函数f(x)=,①若f(x)≥2,则x的取值范围为 .②f(x)在区间[-1,3]的值域为 .
答案:①[-,+∞);②[2,4].
2.设函数f(x)=,若f(f(b))=-2,求实数b的值.
答案:b=或-2.
二、方法联想
方法1:分类讨论,按分段区间进行分类讨论,最后汇总(求并集);
方法2:图象法,画出分段函数的图象,根据图象探讨不等式解集及值域问题.
三、归类巩固
*1.已知f(x)=,则f[f(-1)]= .
答案:0.(考查分段函数求值问题)
*2.设函数f(x)=,则f(-2)+f(log212)= .
答案:9
**3.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
答案:[0,+∞)
**4.已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是 .
答案:[-2,0]
***5.已知函数f(x)=,若关于的方程f(x)-bf(x)+c=0(b,c∈R)有8个不同的实数根,则b+c的取值范围是 .
答案:(0,3)
***6已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.
答案:4
类型二:求函数的解析式
一、前测回顾
1.已知f[f(x)]=9+4x,且f(x)是一次函数,则f(x)= .若f(x2+1)=x2,则f(x)= .
答案:①2x+3或-2x-9;②.x-1(x≥1)
2.已知函数满足2f(x)+f()=x,则f(2)= ;f(x)= .
答案:,x-
二、方法联想
方法1:待定系数法;
方法2:换元法、拼凑法;
方法3:函数方程法.
三、归类巩固
*1.已知f(x)=x2+3x+2,则f(x+1)=________.
答案:x2+5x+6.
*2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.
答案:2x+7
*3.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)的表达式为______
答案:x2+x.
**4.已知f=lgx,则f(x)=_________.
答案:lg.
**5.若2f(x)-f(-x)=x,则f(x)= .
答案:则f(x)=.
***6.若f(x-)=x2+-3x+,则f(x)= .
答案:x2+-3x+4 .
类型三:二次函数
一、前测回顾
1.若二次不等式f(x)<0的解集为(1,2),且函数y=f(x)的图象过点(-1,2),则f(x)= .
答案:x2-x+;.
2.已知f(x)=-x2+2x-2,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),则h(t)= .已知函数满足2f(x)+f()=x,则f(2)= ;f(x)= .
答案:
二、方法联想
二次函数的解析式一般设为三种形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
二次函数在给定区间内的值域与最值问题:
方法: 结合图象,分区间讨论.
步骤: ①配方求对称轴(也可以用公式),画出草图(关注:对称轴,开口方向及给定区间);
②结合图象,由函数的单调性,求出最值.若对称轴在给定区间内,则考虑顶点及端点的函数值,若对称轴不在给定区间内,则最值为端点的函数值.
三、归类巩固
*1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1,10),且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12,
则f(x)的解析式是____________.
答案:f(x)=-2x2-4x+8.
*2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1].若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为________.
答案:1.
**3.若定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0,且有f(1+x)=f(1-x),直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图像截得的线段长为4,则函数f(x)的解析式为__________.
解析:设f(x)=a(x-1)2(a>0).
由得ax2-(4+2a)x+a+4=0.
由韦达定理,得x1+x2=,x1·x2=.
由弦长公式,得
4= .
∴a=1.∴f(x)=(x-1)2.
答案:f(x)=(x-1)2.
**4.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是________.
答案:(-2,1) .
**5.方程mx2-(m-1) x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的实数根,则m的取值范围为__________.
解析:令f(x)=mx2-(m-1)x+1,
则f(x)的图像恒过定点(0,1),由题意可得解得m>3+2.
答案:m>3+2.
***6.函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值记为g(a),求g(a)的函数表达式为___________.
答案:g(a)=.
类型四:指数函数与对数函数
一、前测回顾
1.已知2≤(),则函数y=()的值域为 .
答案:[,81] .
2.设loga<2,则实数a的取值范围为 .
答案:(0,)∪(1,+∞) .
3.已知函数y=log(x2-2x+2),则它的值域为 .
答案:(-∞,0].
二、方法联想
(1)指(对)数方程与不等式问题:
方法1:转化为同底的指(对)数,利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式,与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性.
方法2:利用换元法,转化为代数方程或不等式.
变式:解不等式lg2x-lgx2-3≥0.
(答案:0<x≤或x≥1000,考查利用换元法解指(对)不等式).
(2)与指(对)数函数有关的值域问题,
方法1:复合函数法,转化为利用指(对)数函数的单调性;
方法2:换元法,转化为基本初等函数的复合函数来求.
(3)指数首先要注意值域,对数首先要注意定义域,其次这两个函数都要考虑单调性.
三、归类巩固
*1.若点(a,9)在函数y=3x的图像上,则tan的值为_______.
答案:.
*2.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为__________.
答案:m<n.
**3.函数y=ax-2-1(a>0,a≠1)的图像恒过定点__________.
答案:(2,0) .
**4.解不等式lg2x-lgx2-3≥0的解集是_________.
答案:0<x≤或x≥1000.
**5.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为__________.
解析:由题可知函数f(x)=ax+logax在[1,2]上是单调函数,所以其最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=a+loga1+a2+loga2=loga2+6,整理可得a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去),故a=2.
答案:a=2.
***6.已知函数f(x)=log2(a-2x)+x-2,若f(x)=0有解,则实数a的取值范围是____________.
解析:方法一:f(x)=log2(a-2x)+x-2=0,得a-2x=22-x,即a-2x=,令t=2x(t>0),则t2-at+4=0在t∈(0,+∞)上有解,令g(t)=t2-at+4,g(0)=4>0,故满足得a≥4.
方法二:f(x)=log2(a-2x)+x-2=0,得a-2x=22-x,a=2x+≥4.
答案:a≥4.
类型五:函数的零点问题
一、前测回顾
1.函数f(x)=lgx-sinx零点的个数为 .
答案:3 .
2.函数f(x)=2x+x-4零点所在区间为(k,k+1 ),k∈N,则k= .
答案:1.
二、方法联想
零点存在定理:连续函数y=f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.反之不一定成立.
零点存在问题:①能解出x=x0;②x0∈A(定义域);方法2:分离参数,转化为求值域(要分清谁是参数,谁是自变量);方法3:数形结合法.
零点个数问题:方法1:数型结合;方法2:①解出x=xi(=1,2,…,n),②根据问题中零点有k个,则选择k个x∈A(定义域),n-k个xA.
三、归类巩固
*1.若一次函数f(x)=ax+b有一个零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 .
答案:0和- .
*2.函数函数f(x)=log2(x+2)-x有____________个零点.
答案:2.
**3.已知函数f(x)=则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是 .
答案:m≤0或m>1.
**4.已知三个函数f(x)=2x+x,g (x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是__________.
解析:由于f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,
故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).
因为g(2)=0,故g(x)的零点b=2;
h=-1+=-<0,h(1)=1>0,
故h(x)的零点c∈,因此a<c<b.
答案:a<c<b.
**5.若函数x2-m x+4(x>0)存在零点,则实数的取值范围是__________.
答案:[2,+∞).
***6.已知函数f(x)= (k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是 .
答案:k≤-2.
综合应用篇
一、例题分析
例1 已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).
(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.
答案:(1)实数x的取值范围为[2,3).
(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.解指(对)数不等式问题:
方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.
②换元法:转化为整式不等式,指(对)数必须先注意值(定义)域.
2.与指(对)数有关的函数值域:
方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.
②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化
为代数不等式,所以选择方法①.
对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方
便,所以选择方法①.
指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.
本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.
例2已知函数f(x)=a-.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(2)a的取值范围为(-∞,3].
(3)a的取值范围为{0}∪(2,+∞).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.讨论函数的单调性问题:
方法:①利用函数的图象;
②复合函数的单调性;
③利用函数单调性的定义.
④利用导函数来求函数的单调区间.
2.不等式恒成立问题:
3.已知函数的值域,求参数的取值:
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题是证明函数的单调性,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法①.
例3已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.
解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.
当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.
(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);
当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).
解析:(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R, x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2)
∵2x1<2x2,a>0Þ a(2x1-2x2)<0,同理b(3x1-3x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0∴函数f(x)在R上是增函数
同理,当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.
(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0
当a<0,b>0时,()x>-,则x的取值范围为(log1.5,+∞);
当a>0,b<0时,()x<-,x的取值范围为(-∞,log1.5).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.讨论函数的单调性问题:
方法:①利用函数的图象;
②复合函数的单调性;
③利用函数单调性的定义;
④利用导函数.
2.与指(对)数有关的解不等式问题:
方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式;
②用换元法,依次解几个代数不等式.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.
本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.
本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>0”和“ab<0”的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.
例4已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
解:(1)a=0,b=-3;
(2)有9 个零点.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.求函数的解析式问题:
方法:待定系数法,换元法,函数方程法
2.讨论函数的零点个数问题:
方法:解方程,图象法,零点的存在定理与单调性
(2)方法选择与优化建议:
对于第1小题,是常规问题,方法也非常清楚——待定系数法。
第2小题函数零点的个数问题,用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行,因为本题应用图象法来讨论。
用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数,且这两个曲线尽量满足: ①图像尽量为直线和曲线,②两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画.
本题可以有两种考虑:一是直接画函数的y=f(f(x))和y=c,尽管y=f(f(x))是9次函数,其图像还是能够画出来的,二是将问题分解成和t=f(x),通过两个三次函数的图像来看解的个数问题.本题采用第二种想法,会简单些。
二、反馈巩固
*1.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f(f())的值等于 .
答案:lg2.
(考查函数的奇偶性,对数运算)
*2. 已知f(x)=则不等式f(x2-x+1)<12的解集是________.
答案:(-1,2).
(考查分段函数及利用函数的单调性解不等式).
*3. 函数y=()x+1的值域为______________.
答案:(0,].
(考查指数函数)
*4. 函数f(x)=lnx+2x-1零点的个数为_______________.
答案:1.
(考查函数的图象,数形结合的思想方法).
**5.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
答案:-.
(考查分段函数的问题,解方程,分类讨论的思想).
**6.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.
答案:c=9.
(考查二次函数的值域,一元二次不等式的解集).
***7. 已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是_________.
解析:
答案:[,).
(本题考查分段函数的单调性和一次函数与对数函数)
***8. 已知函数f(x)=若关于x的方程f (x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是 ;
答案 (0,1).
(考查函数的零点)
***9. 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 ;
答案 .
(考查方程解的问题)
***10. 已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x
的取值范围是________.
答案:(-2,).
(考查函数的单调性,不等式恒成立)
*11. 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)由f(0)=1得,c=1,
∴f(x)=ax2+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,
∴∴.因此,f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0得,m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
(考查二次函数的解析式,不等式恒成立)
*12.已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x).当-1≤x≤≤1,f(x)=x3.
(1)求证:x=1是函数y=f(x)的一条对称轴;
(2)当x∈[1,5]时,求f(x)的表达式.
答案:(1)略;(2)f(x)的解析式为f(x)=
(考查用定义证明函数的对称性,利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式).
**13.设函数f(x)=其中b>0,c∈R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求a的取值集合.
答案:(1)f(x)=(2)实数a取值的集合为.
(考查求二次函数的解析式,方程解的个数问题,分类讨论及数形集合的思想方法).
**14.已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
解析:由题意,可知f′(x)=3ax2-b.
(1)于是解得
故所求的解析式为f(x)=x3-4x+4.
(2)由(1)可知,f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2).
令f′(x)=0,得x=2,或x=-2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
-
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值;
当x=2时,f(x)有极小值-.
所以函数的大致图像如图.
故实数k的取值范围是-<k<.
(考查待定系数求解析式,方程解的个数问题,分类讨论及数形集合的思想方法).
**15.已知f(x)=3x,并且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为[-1,1].
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)判断g(x)的单调性;
(3)若方程g(x)-m=0有解,求m的取值范围.
答案:(1)g(x)=2x-4x,x∈[-1,1];
(2)g(x)在[-1,1]上单调递减;
(3)[-2,].
说明:(1)考查解指数方程;
(2)考查函数的单调性;
(3)考查方程有解的问题:①分离变量,求函数的值域;②数形结合,对应函数图象有公共点.
解析:①f(a+2)=18,得到3a+2=18,∴3a=2,∴g(x)=2x-4x,x∈[-1,1]
②令t=2x,≤t≤2,则y=t-t,∴g(x)在[-1,1]上单调递减;
③方程g(x)-m=0有解,则有交点
∴≤t≤2,则y=t-t的范围是[-2,],所以m∈[-2,]
***16.设函数f(x)=3ax2-2(a+c)x+c (a>0,a,c∈R).
(1)设a>c>0.若f(x)>c2-2c+a对x∈[1,+∞)恒成立,求c的取值范围;
(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点,有几个零点?为什么?
(考查不等式恒成立,函数零点)
解 (1)因为二次函数f(x)=3ax2-2(a+c)x+c的图象的对称轴为x=,由条件a>c>0,得2a>a+c,
故<=<1,
即二次函数f(x)的对称轴在区间[1,+∞)的左边,
且抛物线开口向上,故f(x)在[1,+∞)内是增函数.
若f(x)>c2-2c+a对x∈[1,+∞)恒成立,
则f(x)min=f(1)>c2-2c+a,
即a-c>c2-2c+a,得c2-c<0,所以0<c<1.
(2)①若f(0)·f(1)=c·(a-c)<0,
则c<0,或a<c,二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点.
②若f(0)=c>0,f(1)=a-c>0,则a>c>0.
因为二次函数f(x)=3ax2-2(a+c)x+c的图象的对称轴是x=.而f=<0,
所以函数f(x)在区间和内各有一个零点,故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点.
***17.已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;
(3)设a>0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
答案:(1)(2)(3)
说明:本题综合性较强,考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解问题。
解析:
(1)由,得,
解得.
(2),,
当时,,经检验,满足题意.
当时,,经检验,满足题意.
当且时,,,.
是原方程的解当且仅当,即;
是原方程的解当且仅当,即.
于是满足题意的.
综上,的取值范围为.
(3)当时,,,
所以在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为,.
即,对任意成立.
因为,所以函数在区间上单调递增,
时,有最小值,由,得.
故的取值范围为.
(考查对数函数的图像和性质,函数零点)