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- 2021-06-16 发布
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第1讲 绝对值不等式
一、知识梳理
1.绝对值三角不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|a
{x|x>a或x<-a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
常用结论
1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|,|a|+|b|之间的关系:
(1)|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时,等号成立.
(2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时,左边等号成立,当且仅当ab≤0时,右边等号成立.
2.解绝对值不等式的两个要点
(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.
(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点,分区间,逐个解,并起来”.
二、教材衍化
1.求不等式3≤|5-2x|<9的解集.
解:由题意得即解得不等式的解集为(-2,1]∪[4,7).
2.求不等式|x+1|+|x-2|≤5的解集.
解:不等式|x+1|+|x-2|≤5,等价于或或解得-2≤x≤3,所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤3}.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.( )
(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
二、易错纠偏
(1)解集中等号是否成立不注意;
(2)含参数的绝对值不等式讨论不清.
1.不等式|x-4|+|x-1|-3≤2的解集.
解: 不等式等价于或或解得0≤x≤5,故不等式|x-4|+|x-1|-3≤2的解集为[0,5].
2.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},求实数k的值.
解:因为|kx-4|≤2,所以-2≤kx-4≤2,所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3},所以k=2.
含绝对值不等式的解法(师生共研)
(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x,
由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|-|2x+1|≥0,
当x>1时,x-1-(2x+1)≥0,得x≤-2,无解;
当-≤x≤1时,1-x-(2x+1)≥0,得-≤x≤0;
当x<-时,1-x-(-2x-1)≥0,得-2≤x<-.
所以不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
(2)由|x-a|+3x≤0,可得或
即或
当a>0时,不等式的解集为{x|x≤-}.
由-=-1,得a=2.
当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0},不合题意.
当a<0时,不等式的解集为.
由=-1,得a=-4.
综上,a=2或a=-4.
含绝对值不等式解法的常用方法
设函数f(x)=|x+4|.求不等式f(x)>1-x的解集.
解:f(x)=|x+4|=所以不等式f(x)>1-x等价于
解得x>-2或x<-10,
故不等式f(x)>1-x的解集为{x|x>-2或x<-10}.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
(2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)=|2x-1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;
(2)当x≠0,x∈R时,证明:f(-x)+f()≥4.
【解】 (1)不等式f(x)+f(x+1)≥4等价于|2x-1|+|2x+1|≥4,
等价于或或
解得x≤-1或x≥1,
所以原不等式的解集是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)当x≠0,x∈R时,f(-x)+f()=|-2x-1|+|-1|,因为|-2x-1|+|-1|≥|2x+|=2|x|+≥4,当且仅当,即x=±1时等号成立,
所以f(-x)+f()≥4.
两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时.
(2)该定理可强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.
(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.
解:(1)因为f(x)<|x|+1,所以|2x-1|<|x|+1,
即或或
得≤x<2或01的解集为{x|x>}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为0a成立有解,求a的取值范围;
(2)解不等式f(x)a成立有解,应有a3,
所以x<-1;
当-1-2x+1.
所以1-3,故x≥2.
综上所述,不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
5.(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)=|4x-1|-|x+2|.
(1)解不等式f(x)<8;
(2)若关于x的不等式f(x)+5|x+2|-,无解;
当-2-,
即-9.
解得a<-1或a>9.
6.(2020·原创冲刺卷三)已知函数f(x)=|x-2a|,a∈R,若∀x∈R,f(x)都满足f(x)=f(4-x).
(1)求a的值;
(2)若∃x∈R,使得不等式f(2x-1)-f(x)≤4-2m成立,求实数m的取值范围.
解:(1)因为f(x)=f(4-x),x∈R,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)=|x-2a|的图象关于直线x=2a对称,所以2a=2,a=1.
(2)令h(x)=f(2x-1)-f(x)=|2x-3|-|x-2|=h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)min=h()=-,故-≤4-2m,解得m≤,故实数m的取值范围是.
[综合题组练]
1.(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)记函数g(x)=f(x)+f(-x),若对任意的x∈R,不等式|k-1|2的解集为{x|x<-或x>0}.
(2)g(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|+(|2x+1|+|2x-1|)≥|(x-1)-(x+1)|+|(2x+1)-(2x-1)|=4,
当且仅当,即x∈[-,]时取等号,
若对任意的x∈R,不等式|k-1|