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- 2021-06-16 发布
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【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程
例 1、【2017 天津,理 11】在极坐标系中,直线 与圆 的公
共点的个数为___________.
【答案】2
【解析】直线为 ,圆为 ,因为 ,所以有两
个交点
【变式探究】【2016 年高考北京理数】在极坐标系中,直线 与圆
交于 A,B 两点,则 ______.
【答案】2
【解析】直线 过圆 的圆心,因此 学
【变式探究】[2015·全国卷] 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 x=-2,圆 C2 (x-1)2+(y-
2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 C1,C2 的极坐标方程;
(2)若直线 C3 的极坐标方程是 θ=
π
4 (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积.
【解析】
【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式,可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐
标方程,反之亦然.使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊,要根据情
况灵活选取.
【变式探究】
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C {x=2t,
y=4t2-6(t 为参数).以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − =
2cosρ θ= | |AB =
3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 2.AB =
4 cos( ) 1 06
ρ θ π− + = 2sinρ θ=
2 3 2 1 0x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − = 3 14d = <
建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 θ=
π
3 (ρ∈R),l 与 C 相交于 A,B 两点.
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程;
(2)设线段 AB 的中点为 M,求点 M 的极坐标.
【解析】
【命题热点突破二】简单曲线的参数方程
例 2、【2017·江苏】[选修 4-4 坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在平面坐标系中 中,已知直线 的参考方程为 ( 为参数),曲线 的参数方程为
(
为参数).设 为曲线 上的动点,求点 到直线 的距离的最小值.
【答案】
【解析】直线 的普通方程为 .
因为点 在曲线 上,设 ,
xOy l
x 8
2
t
ty
= − + =
t C
22 ,
2 2
x s
y s
= =
s
P C P l
4 5
5
l 2 8 0x y− + =
P C ( )22 ,2 2P s s
从而点 到直线 的的距离 ,
当 时, .
因此当点 的坐标为 时,曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 .
【变式探究】【2016 高考新课标 1 卷】(本小题满分 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 x y 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数,a>0).
在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 ρ= .
(I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;
(II)直线 C3 的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3
上,求 a.
【答案】(I)圆, (II)1
(Ⅱ)曲线 的公共点的极坐标满足方程组
若 ,由方程组得 ,由已知 ,
可得 ,从而 ,解得 (舍去), .
时,极点也为 的公共点,在 上.所以 .
【变式探究】已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α=
π
6 .
Ο cos
1 sin
x a t
y a t
=
= +
4 cosθ
0
θ α= 0
α 0
α
2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − =
21,CC
=
=−+−
,cos4
,01sin2 22
θρ
θρρ a
0≠ρ 01cossin8cos16 22 =−+− aθθθ 2tan =θ
0cossin8cos16 2 =− θθθ 01 2 =− a 1−=a 1=a
1=a 21,CC 3C 1=a
P l ( ) ( )
( )22
2 2
2 2 42 4 2 8
51 2
ss s
d
− +− +
= =
− + −
2s = min
4 5
5d =
P ( )4,4 C P l 4 5
5
(1)写出直线 l 的参数方程;
(2)设 l 与圆{x=2cos θ,
y=2sin θ (θ 为参数)相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之
积.
【解析】
解 (1)直线 l 的参数方程是{x=1+
3
2 t,
y=1+
1
2t
(t 是参数).
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设点 A,B 对应的参数分别为 t1 和 t2,将直线 l 的参
数方程代入圆的方程 x2+y2=4 中,整理得 t2+( 3+1)t-2=0.①
因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2,
所以|PA|·|PB|=|t1t2|=2.学
【特别提醒】直线的参数方程{x=x0+tcos α,
y=y0+tsin α (其中 t 为参数,α 为直线的倾斜角)中 t
的几何意义是点 P(x0,y0)到参数 t 对应的点的有向线段的数量,解题中注意使用直线参数
方程的几何意义,同时注意直线的参数方程中 t 的系数是否符合上述参数方程.
【变式探究】
已知椭圆 C
x2
4 +
y2
3 =1,直线 l {x=-3+ 3t,
y=2 3+t (t 为参数).
(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程;
(2)设 A(1,0),若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的
坐标.
【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合
例 3、【2017 课标 1,理 22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (θ 为
参数),直线 l 的参数方程为 .
(1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ,求 a.
【答案】(1) 与 的交点坐标为 , ;(2) 或 .
(2)直线 的普通方程为 ,故 上的点 到 的距离为
.
当 时, 的最大值为 .由题设得 ,所以 ;
当 时, 的最大值为 .由题设得 ,所以 .
综上, 或 .学
【变式探究】【2016 高考新课标 2 理数】选修 4—4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,圆 的方程为 .
(Ⅰ)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 的极坐标方程;
xOy C 2 2( 6) 25x y+ + =
x C
3cos ,
sin ,
x
y
θ
θ
=
=
4 ,
1 ,
x a t ty t
= +
= −
( 为参数)
17
C l ( )3,0 21 24,25 25
− 8a = 16a = −
l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos ,sinθ θ l
3cos 4sin 4
17
ad
θ θ+ − −=
4a ≥ − d 9
17
a + 9 17
17
a + = 8a =
4a < − d 1
17
a− + 1 17
17
a− + = 16a = −
8a = 16a = −
(Ⅱ)直线 的参数方程是 ( 为参数), 与 交于 两点, ,
求 的斜率.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【变式探究】已知平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
P 点的极坐标为(4 3,
π
6 ),曲线 C 的极坐标方程为 ρ2+4 3ρsin θ=4.
(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程;
(2)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l {x=3+2t,
y=-2+2t(t 为参数)距离的最大值.
解 (1)x=ρcos θ=6,y=ρsin θ=2 3,
∴点 P 的直角坐标为(6,2 3).
由 ρ2+4 3ρsin θ=4 得 x2+y2+4 3y=4,即 x2+(y+2 3)2=16,
∴曲线 C 的普通方程为 x2+(y+2 3)2=16.
(2)由 l {x=3+2t,
y=-2+2t可得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0,
由曲线 C 的普通方程 x2+(y+2 3)2=16 可设点 Q(4cos θ,4sin θ-2 3),
∴则点 M 的坐标为(2cos θ+3,2sin θ),
l cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t l C ,A B | | 10AB =
l
2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = 15
3
±
∴点 M 到直线 l 的距离 d=
|2cos θ+3-2sin θ-5|
2 =
|2 2cos(θ+
π
4 )-2|
2 ,
当 cos(θ+
π
4 )=-1 时,d 取得最大值 2+ 2,
∴点 M 到直线 l 距离的最大值为 2+ 2.
【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中,一个基本的思路是把极坐标方程化为直角
坐标方程、参数方程化为普通方程,然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题.
【变式探究】
以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同
的单位长度.已知圆 C 的参数方程是{x=2cos φ,
y=1+2sin φ(φ 为参数),直线 l 的极坐标方程是
2ρcos θ+ρsin θ=6.
(1)求圆 C 的极坐标方程;
(2)过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线,交 l 于点 Q,求|PQ|的最大值与最小
值.
【高考真题解读】
1.【2017 江苏,21】
在平面坐标系中 中,已知直线 的参考方程为 ( 为参数),曲线 的参数方程为
(
为参数).设 为曲线 上的动点,求点 到直线 的距离的最小值.
【答案】
【解析】直线 的普通方程为 .
xOy l
x 8
2
t
ty
= − + =
t C
22 ,
2 2
x s
y s
= =
s
P C P l
4 5
5
l 2 8 0x y− + =
因为点 在曲线 上,设 ,
从而点 到直线 的的距离 ,
当 时, .
因此当点 的坐标为 时,曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 .学*
2. 【2017 课标 II,理 22】在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 。
(1)M 为曲线 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 ,求点 P 的轨迹
的直角坐标方程;
(2)设点 A 的极坐标为 ,点 B 在曲线 上,求 面积的最大值。
【答案】(1) ;(2) 。
【解析】
(1)设 P 的极坐标为( )( >0),M 的极坐标为 ( )由题设知
|OP|= , = .
由 |OP|=16 得 的极坐标方程
因此 的直角坐标方程为 .
3.【2017 北京,理 11】在极坐标系中,点 A 在圆 上,点 P
的坐标为(1,0),
P C ( )22 ,2 2P s s
P l ( ) ( )
( )22
2 2
2 2 42 4 2 8
51 2
ss s
d
− +− +
= =
− + −
2s = min
4 5
5d =
P ( )4,4 C P l 4 5
5
1C cos 4ρ θ =
1C | | | | 16OM OP⋅ = 2C
(2, )3
π
2C OAB△
( ) ( )2 22 4 0x y x− + = ≠ 2 3+
,ρ θ ρ ( )1,ρ θ 1 0ρ >
ρ OM 1
4
cosθ
ρ =
OM ⋅ 2C 4cos 0ρ θ ρ= ( > )
2C ( )2 2x 2 y 4 0x− + = ≠( )
2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
则|AP|的最小值为___________.
【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ,整理为
,圆心 ,点 是圆外一点,所以 的最小值就是
.
4.【2017 课标 1,理 22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (θ 为参
数),直线 l 的参数方程为 .
(1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ,求 a.
【答案】(1) 与 的交点坐标为 , ;(2) 或 .
(2)直线 的普通方程为 ,故 上的点 到 的距离为
.
当 时, 的最大值为 .由题设得 ,所以 ;
当 时, 的最大值为 .由题设得 ,所以 .
2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + =
( ) ( )2 21 2 1x y− + − = ( )1,2C P AP
2 1 1AC r− = − =
3cos ,
sin ,
x
y
θ
θ
=
=
4 ,
1 ,
x a t ty t
= +
= −
( 为参数)
17
C l ( )3,0 21 24,25 25
− 8a = 16a = −
l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos ,sinθ θ l
3cos 4sin 4
17
ad
θ θ+ − −=
4a ≥ − d 9
17
a + 9 17
17
a + = 8a =
4a < − d 1
17
a− + 1 17
17
a− + = 16a = −
综上, 或 .
1.【2016 年高考北京理数】在极坐标系中,直线 与圆
交于 A,B 两点,则 ______.
【答案】2
【解析】直线 过圆 的圆心,因此 学
2.【2016 高考新课标 1 卷】(本小题满分 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 x y 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数,a>0).在以坐标原
点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 ρ= .
(I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;
(II)直线 C3 的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3
上,求 a.
【答案】(I)圆, (II)1
【解析】解 (Ⅰ)消去参数 得到 的普通方程 .
是以 为圆心, 为半径的圆.
将 代入 的普通方程中,得到 的极坐标方程为
.
3.【2016 高考新课标 2 理数】选修 4—4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,圆 的方程为 .
cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ=
| |AB =
3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 2.AB =
Ο cos
1 sin
x a t
y a t
=
= +
4 cosθ
0
θ α= 0
α 0
α
2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − =
t 1C 222 )1( ayx =−+
1C )1,0( a
θρθρ sin,cos == yx 1C 1C
01sin2 22 =−+− aθρρ
xOy C 2 2( 6) 25x y+ + =
8a = 16a = −
(Ⅰ)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 的极坐标方程;
(Ⅱ)直线 的参数方程是 ( 为参数), 与 交于 两点, ,
求 的斜率.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
4.【2016 高考新课标 3 理数】(本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ,以坐标原点为极点,
以 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(I)写出 的普通方程和 的直角坐标方程;
(II)设点 在 上,点 在 上,求 的最小值及此时 的直角坐标.
【答案】(Ⅰ) 的普通方程为 , 的直角坐标方程为 ;(Ⅱ)
.
x C
l cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t l C ,A B | | 10AB =
l
2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = 15
3
±
xOy 1C 3cos ( )
sin
x
y
α α
α
= =
为参数
x 2C sin( ) 2 24
ρ θ π+ =
1C 2C
P 1C Q 2C PQ P
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
3 1( , )2 2
【解析】(Ⅰ) 的普通方程为 , 的直角坐标方程为 .
(Ⅱ)由题意,可设点 的直角坐标为 ,因为 是直线,所以 的最
小值即为 到 的距离 的最小值,
.
当且仅当 时, 取得最小值,最小值为 ,此时 的直角坐标
为 .
1.(2015·广东,14)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ-π
4 )= 2,点 A 的极坐标为 A(2 2,7π
4 ),
则点 A 到直线 l 的距离为________.
【答案】5 2
2
【解析】依题已知直线 l 2ρsin(θ-π
4 )= 2和点 A (2 2,7π
4 )可化为 l x-y+1=0 和 A(2,-2),
所以点 A 到直线 l 的距离为 d=|2-(-2)+1|
12+(-1)2
=5 2
2 .
2 . (2015· 北 京 , 11) 在 极 坐 标 系 中 , 点(2,π
3 )到 直 线 ρ(cos θ + 3sin θ) = 6 的 距 离 为
________.
【答案】1
【解析】在平面直角坐标系下,点(2,π
3 )化为(1, 3),直线方程为 x+ 3y=6,∴点(1,
3)到直线的距离为 d=|1+ 3 × 3-6|
2
=|-2|
2
=1. 学
3.(2015·安徽,12)在极坐标系中,圆 ρ=8sin θ 上的点到直线 θ= π
3(ρ∈R)距离的最大值是
________.
【答案】6
4.(2015·江苏,21)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρsin(θ-π
4 )-4=0,求圆 C 的半径.
【解析】
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ
P 2C ( )d α
| 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32
d
α α πα α+ −= = + −
2 ( )6k k Z
πα π= + ∈ ( )d α 2 P
3 1( , )2 2
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标
系 xOy.
圆 C 的极坐标方程为
ρ2+2 2ρ( 2
2 sin θ- 2
2 cos θ)-4=0,
化简,得 ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.
则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,
所以圆 C 的半径为 6.
5.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 x=-2,圆 C2 (x-1)2+(y-2)2=
1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 C1,C2 的极坐标方程;
(2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ=π
4(ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积.
【解析】
6.(2015·福建,21(2))在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (t 为
参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴
非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2ρsin(θ-π
4 )=m(m∈R).
①求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程;
②设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.
【解析】
解 ①消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
1 3cos ,
2 3sin
x t
y t
= +
= − +
由 2ρsin(θ-π
4 )=m,得
ρsin θ-ρcos θ-m=0.
所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0.
②依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,
即|1-(-2)+m|
2
=2,
解得 m=-3±2 2.学
7.(2015·湖南,16Ⅱ)已知直线 l (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|·|MB|的值.
【解析】
解 (1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ.①
将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.②
(2)将 代入②式,得 t2+5 3t+18=0.
设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,
|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
1. 【2014 高考安徽卷理第 4 题】以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,
建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 的参数方程是 ( 为
参数),圆 的极坐标方程是 ,则直线 被圆 截得的弦长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
32 ,2
13 2
x t
y t
= +
= +
32 ,2
13 2
x t
y t
= +
= +
x
l 1
3
x t
y t
= +
= − t
C θρ cos4= l C
14 142 2 22
2. 【2014 高考北京卷理第 3 题】曲线 ,( 为参数)的对称中心( )
A.在直线 上 B.在直线 上
C.在直线 上 D.在直线 上
【答案】B
【解析】参数方程 所表示的曲线为圆心在 ,半径为 1 的圆,其对称
中心为 ,逐个代入选项可知,点 满足 ,故选 B.
3. 【2014 高考湖北卷理第 16 题】已知曲线 的参数方程是 ,以坐标
原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 ,则 与
交点的直角坐标为 .
【答案】
【解析】
解 由 消去 得 ,由 得 ,解方程组
得 与 的交点坐标为 .学
4. 【2014 高考湖南卷第 11 题】在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 与曲线
,( 为参数)交于 、 两点,且 ,以坐标原点 为极点,
1 cos
2 sin
x
y
θ
θ
= − +
= =
θ
2y x= 2y x= −
1y x= − 1y x= +
+=
+−=
θ
θ
sin2
cos1
y
x )2,1(−
)2,1(− )2,1(− xy 2−=
1C
=
=
3
3ty
tx ( )为参数t
x 2C 2=ρ 1C
2C
)1,3(
=
=
3
3ty
tx
t )0,0(3 22 ≥≥= yxyx 2=ρ 422 =+ yx
=
=+
22
22
3
4
yx
yx
1C 2C )1,3(
4
π
l
2 cos
1 sin
xC y
α
α
= +
= +
: α A B 2AB = O x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 的极坐标方程是________.
【答案】
,故填 .
5.【2014 江西高考理第 12 题】若以直角坐标系的原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系,则线段 的极坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据 , 得
解得
,选 A.
6. 【2014 重庆高考理第 15 题】已知直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原
点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为
,则直线 与曲线 的公共点的极径
________.
【答案】
l
( )cos sin 1ρ θ θ− =
1y x= − ( )sin cos 1 cos sin 1ρ θ ρ θ ρ θ θ⇒ = − ⇒ − = ( )cos sin 1ρ θ θ− =
x
( )1 0 1y x x= − ≤ ≤
1 ,0cos sin 2
πρ θθ θ= ≤ ≤+
1 ,0cos sin 4
πρ θθ θ= ≤ ≤+
cos sin ,0 2
πρ θ θ θ= + ≤ ≤ cos sin ,0 4
πρ θ θ θ= + ≤ ≤
cos , sin , 0, [0,2 ]x yρ θ ρ θ ρ θ π= = > ∈ ( )1 0 1y x x= − ≤ ≤
[0,1], sin 1 cos ,(0 cos 1,0 sin 1,)y ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ∈ = − ≤ ≤ ≤ ≤
1 ,0cos sin 2
πρ θθ θ= ≤ ≤+
l
+=
+=
ty
tx
3
2 t
x C
( )2sin 4cos 0 0,0 2ρ θ θ ρ θ π− = ≥ ≤ < l C =ρ
5
7. 【2014 陕西高考理第 15 题】在极坐标系中,点 到直线 的距离
是 .
【答案】1
【解析】直线 化为直角坐标方程为 ,点 的直角坐
标为 ,点 到直线 的距离 ,
故答案为 1.
8. 【2014 天津高考理第 13 题】在以 为极点的极坐标系中,圆 和直线
相交于 两点.若 是等边三角形,则 的值为___________.
【答案】3.
9.【2014 高考福建理第 21(2)题】 已知直线 的参数方程为 ,( 为参数),圆
的参数方程为 ,( 为常数).
(2, )6
π
sin( ) 16
πρ θ − =
sin( ) 16
πρ θ − = 3 1 1 02 2y x− − = (2, )6
π
( 3,1) ( 3,1) 3 1 1 02 2y x− − =
2 2
3 1| 1 3 1 0 |2 2 1
1 3( ) ( )2 2
d
× − × − =
= =
− +
O 4sinr q=
sin ar q = ,A B AOBD a
l
−=
−=
ty
tax
4
2 t
C
=
=
θ
θ
sin4
cos4
y
x θ
(I)求直线 和圆 的普通方程;
(II)若直线 与圆 有公共点,求实数 的取值范围.
【答案】(I) , ;(II)
【解析】(I)由已知直线 的参数方程为 ,( 为参数),消去参数 即可得直线
的普通方程.由圆 的参数方程 为 ,( 为常数)消去参数 ,即可得圆的普通
方程.
(II)由直线 与圆 有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径 4,由点到直
线的距离公式即可得到结论.
试题解析 (I)直线 的普通方程为 .圆 C 的普通方程为 .
(II)因为直线 与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线 的距离 ,解得
.
10. 【2014 高考江苏第 21C 题】在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程
( 为参数),直线 与抛物线 相交于 两点,求线段 的长.
【答案】
【解析】直线 的普通方程为 ,即 ,与抛物线方程联立方程组解
得 ,∴ .
11. 【2014 高考辽宁理第 23 题】将圆 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为
原 的 2 倍,得曲线 C.
(Ⅰ)写出 C 的参数方程;
(Ⅱ)设直线 与 C 的交点为 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐
l C
l C a
2 2 0x y a− − = 2 2 16x y+ = 2 5 2 5a− ≤ ≤
l
−=
−=
ty
tax
4
2 t t
C
=
=
θ
θ
sin4
cos4
y
x θ θ
l C
l 2 2 0x y a− − = 2 2 16x y+ =
l l 2 4
5
ad
−= ≤
2 5 2 5a− ≤ ≤
xoy l
21 2
22 2
x t
y t
= −
= +
t l 2 4y x= AB AB
8 2
l 1 ( 2) 0x y− + − = 3y x= −
1
1
1,
2,
x
y
=
=
2
2
9,
6
x
y
=
= −
2 2(9 1) ( 6 2) 8 2AB = − + − − =
2 2 1x y+ =
: 2 2 0l x y+ − = 1 2,P P
标建立极坐标系,求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程.
【答案】(1) (t 为参数);(2) .
(2)由 解得 ,或 .
不妨设 ,则线段 的中点坐标为 ,所求直线的斜率为 ,于是所
求直线方程为 ,化极坐标方程,并整理得 ,即
.
12. 【2014 高考全国 1 第 23 题】已知曲线 ,直线 ( 为参
数).
(I)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程;
(II)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线,交 于点 , 的最大值与最小
值.
【答案】(I) ;(II)最大值为 ,最小值为 .
1 2PP l
cos
2sin
x t
y t
=
=
3
4sin 2cos
ρ θ θ= −
2
2 14
2 2 0
yx
x y
+ =
+ − =
1
0
x
y
=
=
0
2
x
y
=
=
1 2(1,0), (0,2)P P 1 2PP 1( ,1)2
1
2k =
1 11 ( )2 2y x− = − 2 cos 4 sin 3ρ θ ρ θ− = −
3
4sin 2cos
ρ θ θ= −
2 2
1 : 14 9
x yC + = l 2 ,
2 2 ,
x t
y t
= +
= − t
C l
C P l 30° l A PA
2cos ,
3sin ,
x
y
θ
θ
=
= 2 6 0x y+ − = 22 5
5
2 5
5
13. 【2014 高考全国 2 第 23 题】在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建
立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ,
.
(Ⅰ)求 C 的参数方程;
(Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的
参数方程,确定 D 的坐标.
【答案】(Ⅰ) 是参数, ;(Ⅱ)
【解析】(1)设点 M 是 C 上任意一点,则由 可得 C 的普通方程为
,
即 ,
所以 C 的参数方程为 是参数, .
(2)设 D 点坐标为 ,由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上
半圆,
因为 C 在点 D 处的切线与 垂直,所以直线 GD 与 的斜率相同, , ,
2cosρ θ=
0, 2
πθ ∈
: 3 2l y x= +
1 cos ,(sin
x
y
β ββ
= +
= 0 )β π≤ ≤ 3 3( , )2 2
( , )x y 2cosρ θ=
2 2 2x y x+ =
2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤
1 cos ,(sin
x
y
β ββ
= +
= 0 )β π≤ ≤
(1 cos ,sin )β β+
l l tan 3β =
3
πβ =
故 D 点的直角坐标为 ,即 .
14. 【2014 高考上海理 】已知曲线 C 的极坐标方程为 ,则 C 与极轴
的交点到极点的距离是 .
【答案】
15.(2013·新课标 I 理)(23)(本小题 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程
已知曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
【答案】(1)因为 ,消去参数,得 ,即
,
故 极坐标方程为 ;
(2) 的普通方程为 ,联立 、 的方程,解得 或 ,所
以交点的极坐标为 .
【解析】(1)先得到 C1 的一般方程,进而得到极坐标方程;(2)先联立求出交点坐标,进
而求出极坐标.
1)sin4cos3( =− θθp
1
3
4 5cos
5 5sin
x t
y t
= +
= +
2 2( 4) ( 5) 25x y− + − =
2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + =
1C 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
2C 2 2 2 0x y y+ − = 1C 2C 1
1
x
y
=
=
0
2
x
y
=
=
( 2, ),(2, )4 2
π π
(1 cos ,sin )3 3
π π+ 3 3( , )2 2