【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第六章　第1讲　数列的概念及简单表示法作业 5页

第1讲　数列的概念及简单表示法 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)‎ A．3不是数列{an}的项 B．3只是数列{an}的第2项 C．3只是数列{an}的第6项 D．3是数列{an}的第2项和第6项 解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3.整理，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故选D.‎ ‎2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，则a5＝(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A.由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，所以a5＝a3·a2＝.‎ ‎3．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.“|an＋1|>an”⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎4．已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N＋)，且a1＝2，则(　　)‎ A．a3＝－1 B．a2 019＝ C．S3＝3 D．S2 019＝2 019‎ 解析：选A.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N＋)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S6＝3，S2 019＝.‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选B.由题意知，Sn＋nan＝2，‎ 当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，‎ 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，‎ 从而···…·＝··…·，‎ 则an＝，当n＝1时上式成立，‎ 所以an＝.‎ ‎6．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝ ．‎ 解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为.‎ 答案： ‎7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为 ．‎ 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，‎ 当n＝1时，a1＝6；‎ 当n≥2时， 故当n≥2时，an＝，‎ 所以an＝ 答案：an＝ ‎8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝ ．‎ 解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，‎ 所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n.‎ 答案：n ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；‎ ‎(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.‎ 解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝‎ ‎(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，‎ 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．‎ ‎(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，‎ 由于a1不适合此式，所以an＝ ‎10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.‎ ‎(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＝4.‎ 解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.‎ ‎(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝ ．‎ 解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.‎ 答案：n ‎2．(2020·新疆一诊)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 019＝ ．‎ 解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－，‎ 又a1＝3，则a2＝1－＝，a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－(－2)＝3，‎ 则数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝3××＝－1，则A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎3．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；‎ 同理a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝a＋an，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ ‎4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.‎ ‎(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．‎ 解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，‎ 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝S1－3＝a－3，‎ 因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N＋.‎ ‎(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，‎ 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a ‎－3)2n－2，‎ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2‎ ‎＝2n－2，‎ 所以，当n≥2时，‎ an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，‎ 又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.‎ 所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．‎